Номер 32.2, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.2, страница 180.

Условие.

Не решая уравнения, определите, имеет ли оно корни. Для уравнений, имеющих корни, найдите их сумму и произведение:

32.2

а) $x^2 + 2x - 5 = 0$;

б) $x^2 - 15x + 16 = 0$;

в) $x^2 - 19x + 1 = 0$;

г) $x^2 + 8x + 10 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для определения наличия корней у квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ используется дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Если $D \ge 0$, то уравнение имеет действительные корни. Если корни существуют, их сумму и произведение можно найти по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -b/a$, $x_1 \cdot x_2 = c/a$.

а) $x^2 + 2x - 5 = 0$

1. Проверка наличия корней.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2$, $c=-5$.
Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$.
Так как $D = 24 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Нахождение суммы и произведения корней.
По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -2/1 = -2$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = -5/1 = -5$.
Ответ: уравнение имеет корни; сумма корней равна -2, произведение корней равно -5.

б) $x^2 - 15x + 16 = 0$

1. Проверка наличия корней.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-15$, $c=16$.
Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 225 - 64 = 161$.
Так как $D = 161 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Нахождение суммы и произведения корней.
По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -(-15)/1 = 15$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 16/1 = 16$.
Ответ: уравнение имеет корни; сумма корней равна 15, произведение корней равно 16.

в) $x^2 - 19x + 1 = 0$

1. Проверка наличия корней.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-19$, $c=1$.
Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 361 - 4 = 357$.
Так как $D = 357 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Нахождение суммы и произведения корней.
По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -(-19)/1 = 19$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 1/1 = 1$.
Ответ: уравнение имеет корни; сумма корней равна 19, произведение корней равно 1.

г) $x^2 + 8x + 10 = 0$

1. Проверка наличия корней.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=8$, $c=10$.
Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 64 - 40 = 24$.
Так как $D = 24 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Нахождение суммы и произведения корней.
По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -8/1 = -8$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 10/1 = 10$.
Ответ: уравнение имеет корни; сумма корней равна -8, произведение корней равно 10.