Номер 31.24, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 31. Ещё одна формула корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 31.24, страница 178.

Условие.

31.24 Расстояние между городами А и В равно 120 км. Через 2 ч после отправления из А мотоциклист был задержан у шлагбаума на 6 мин. Чтобы прибыть в В к намеченному сроку, он увеличил скорость на 12 км/ч. С какой скоростью стал двигаться мотоциклист?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $v$ (км/ч) — первоначальная скорость мотоциклиста. Тогда $v + 12$ (км/ч) — его новая скорость после задержки. Общее расстояние между городами А и В составляет 120 км.

Мотоциклист был задержан через 2 часа после отправления. За это время он проехал расстояние $S_1 = v \cdot 2 = 2v$ км.

Оставшееся расстояние до города В составляет $S_2 = 120 - 2v$ км.

Задержка составила 6 минут. Переведем это время в часы, так как скорость измеряется в км/ч:

$t_{задержки} = 6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = 0.1 \text{ ч}$

Чтобы прибыть в В в намеченный срок, мотоциклист должен был наверстать потерянное время на оставшемся участке пути. Это означает, что время, которое он сэкономил за счет увеличения скорости, должно быть равно времени задержки.

Время, которое мотоциклист потратил бы на оставшийся путь $S_2$ с первоначальной скоростью $v$, равно $t_{старое} = \frac{120 - 2v}{v}$ ч.

Время, которое он фактически потратил на этот же путь с новой скоростью $v + 12$, равно $t_{новое} = \frac{120 - 2v}{v + 12}$ ч.

Разница между этими временами и есть сэкономленное время, которое равно времени задержки. Составим уравнение:

$t_{старое} - t_{новое} = t_{задержки}$

$\frac{120 - 2v}{v} - \frac{120 - 2v}{v + 12} = 0.1$

Решим это уравнение относительно $v$. Вынесем общий множитель $(120 - 2v)$ за скобки:

$(120 - 2v) \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{v + 12} \right) = 0.1$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$(120 - 2v) \left( \frac{(v + 12) - v}{v(v + 12)} \right) = 0.1$

$(120 - 2v) \left( \frac{12}{v^2 + 12v} \right) = 0.1$

$\frac{12(120 - 2v)}{v^2 + 12v} = 0.1$

Умножим обе части на знаменатель $v^2 + 12v$ (подразумевая, что $v > 0$):

$12(120 - 2v) = 0.1(v^2 + 12v)$

$1440 - 24v = 0.1v^2 + 1.2v$

Для удобства вычислений умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$14400 - 240v = v^2 + 12v$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$v^2 + 12v + 240v - 14400 = 0$

$v^2 + 252v - 14400 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 252^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14400) = 63504 + 57600 = 121104$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{121104} = 348$.

Теперь найдем значения $v$:

$v_1 = \frac{-252 + 348}{2 \cdot 1} = \frac{96}{2} = 48$

$v_2 = \frac{-252 - 348}{2 \cdot 1} = \frac{-600}{2} = -300$

Так как скорость не может быть отрицательной, первоначальная скорость мотоциклиста $v = 48$ км/ч.

Вопрос задачи — найти скорость, с которой мотоциклист стал двигаться, то есть его новую скорость. Она на 12 км/ч больше первоначальной:

$v_{новая} = v + 12 = 48 + 12 = 60$ км/ч.

Ответ: 60 км/ч.