Номер 31.25, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 31. Ещё одна формула корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 31.25, страница 179.

Условие.

31.25 Велосипедист проехал 40 км от города до фермы. Возвращаясь, он сначала 2 ч ехал с той же скоростью, а затем сделал остановку на 20 мин. После остановки велосипедист увеличил скорость на 4 км/ч и затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь от города до фермы. С какой скоростью двигался велосипедист после остановки?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость велосипедиста (с которой он ехал от города до фермы и первые 2 часа на обратном пути). Тогда время, затраченное на путь от города до фермы, составляет $t_1 = \frac{40}{v}$ часов.

На обратном пути велосипедист сначала ехал 2 часа со скоростью $v$ км/ч. За это время он проехал расстояние $S_1 = 2v$ км.

Затем он сделал остановку на 20 минут. Переведем это время в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3}$ часа.

После остановки скорость велосипедиста увеличилась на 4 км/ч и стала равной $v + 4$ км/ч. Оставшееся расстояние, которое ему нужно было проехать, составляет $S_2 = 40 - S_1 = 40 - 2v$ км. Время, затраченное на этот участок пути, равно $t_2 = \frac{40 - 2v}{v + 4}$ часов.

Общее время, затраченное на обратный путь, складывается из времени движения до остановки, времени самой остановки и времени движения после остановки: $t_{обр} = 2 + \frac{1}{3} + \frac{40 - 2v}{v + 4}$ часов.

По условию задачи, время на путь от города до фермы равно времени на обратный путь, значит $t_1 = t_{обр}$. Составим уравнение: $\frac{40}{v} = 2 + \frac{1}{3} + \frac{40 - 2v}{v + 4}$

Приступим к решению уравнения. Сначала упростим правую часть: $\frac{40}{v} = \frac{7}{3} + \frac{40 - 2v}{v + 4}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $3(v+4)$: $\frac{40}{v} = \frac{7(v+4) + 3(40 - 2v)}{3(v+4)}$ $\frac{40}{v} = \frac{7v + 28 + 120 - 6v}{3v+12}$ $\frac{40}{v} = \frac{v + 148}{3v+12}$

Используем свойство пропорции (умножим крест-накрест), учитывая, что $v \neq 0$ и $v \neq -4$: $40(3v+12) = v(v + 148)$ $120v + 480 = v^2 + 148v$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $v^2 + 148v - 120v - 480 = 0$ $v^2 + 28v - 480 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 28^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 784 + 1920 = 2704$ $\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$

Теперь найдем возможные значения скорости $v$: $v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 + 52}{2} = \frac{24}{2} = 12$ $v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 - 52}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $v_2 = -40$ не имеет физического смысла. Следовательно, первоначальная скорость велосипедиста была $v = 12$ км/ч.

В задаче спрашивается, с какой скоростью двигался велосипедист после остановки. Эта скорость равна $v + 4$. $12 + 4 = 16$ км/ч.

Ответ: 16 км/ч.