Номер 31.22, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 31. Ещё одна формула корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 31.22, страница 178.

Условие.

31.22 a) $x^2 - 2px + p^2 - 1 = 0;$

б) $px^2 - 4x + 1 = 0;$

в) $x^2 - 4px + 4p^2 - 1 = 0;$

г) $px^2 - 12x + 4 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Это квадратное уравнение относительно переменной $x$. Заметим, что первые три слагаемых образуют полный квадрат разности: $x^2 - 2px + p^2 = (x-p)^2$.
Перепишем уравнение в виде:
$(x-p)^2 - 1 = 0$
$(x-p)^2 = 1$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$x-p = 1$ или $x-p = -1$.
Отсюда находим два корня:
$x_1 = p + 1$
$x_2 = p - 1$

Ответ: $x = p \pm 1$.

б) Это уравнение является квадратным относительно $x$ при $p \neq 0$. Рассмотрим два случая.
1. Если $p = 0$, уравнение становится линейным:
$-4x + 1 = 0$
$4x = 1$
$x = \frac{1}{4}$

2. Если $p \neq 0$, решаем квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot p \cdot 1 = 16 - 4p$.
a) Если $D > 0$, т.е. $16 - 4p > 0 \implies 4p < 16 \implies p < 4$ (и $p \neq 0$), уравнение имеет два различных действительных корня:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4p}}{2p} = \frac{4 \pm 2\sqrt{4 - p}}{2p} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - p}}{p}$.

б) Если $D = 0$, т.е. $16 - 4p = 0 \implies p = 4$, уравнение имеет один действительный корень (кратности 2):
$x = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

в) Если $D < 0$, т.е. $16 - 4p < 0 \implies p > 4$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: если $p = 0$, то $x = \frac{1}{4}$; если $p=4$, то $x = \frac{1}{2}$; если $p < 4$ и $p \neq 0$, то $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - p}}{p}$; если $p > 4$, то действительных корней нет.

в) Это квадратное уравнение относительно $x$. Аналогично пункту а), заметим, что первые три слагаемых являются полным квадратом разности: $x^2 - 4px + 4p^2 = (x - 2p)^2$.
Подставим это в исходное уравнение:
$(x - 2p)^2 - 1 = 0$
$(x - 2p)^2 = 1$
Извлекая квадратный корень, получаем два случая:
$x - 2p = 1$ или $x - 2p = -1$.
Отсюда находим корни:
$x_1 = 2p + 1$
$x_2 = 2p - 1$

Ответ: $x = 2p \pm 1$.

г) Данное уравнение содержит параметр $p$ в старшем коэффициенте. Рассмотрим два случая.
1. Если $p = 0$, уравнение становится линейным:
$-12x + 4 = 0$
$12x = 4$
$x = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

2. Если $p \neq 0$, уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot p \cdot 4 = 144 - 16p$.
a) Если $D > 0$, т.е. $144 - 16p > 0 \implies 16p < 144 \implies p < 9$ (и $p \neq 0$), уравнение имеет два различных действительных корня:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 16p}}{2p} = \frac{12 \pm 4\sqrt{9 - p}}{2p} = \frac{6 \pm 2\sqrt{9 - p}}{p}$.

б) Если $D = 0$, т.е. $144 - 16p = 0 \implies p = 9$, уравнение имеет один действительный корень (кратности 2):
$x = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{2 \cdot 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.

в) Если $D < 0$, т.е. $144 - 16p < 0 \implies p > 9$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: если $p = 0$, то $x = \frac{1}{3}$; если $p=9$, то $x = \frac{2}{3}$; если $p < 9$ и $p \neq 0$, то $x = \frac{6 \pm 2\sqrt{9 - p}}{p}$; если $p > 9$, то действительных корней нет.