Номер 31.16, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 31. Ещё одна формула корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 31.16, страница 178.

Условие.

31.16 На середине пути между станциями $A$ и $B$ поезд был задержан на 10 мин. Чтобы прибыть в $B$ по расписанию, машинисту пришлось увеличить первоначальную скорость поезда на $12\text{ км/ч}$. Найдите первоначальную скорость поезда, если известно, что расстояние между станциями равно $120\text{ км}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $v$ (км/ч) — первоначальная скорость поезда.

Всего расстояние между станциями А и В равно $S = 120$ км. Поезд был задержан на середине пути, то есть проехав расстояние $S_1 = \frac{120}{2} = 60$ км. Оставшаяся часть пути, которую поезду нужно было проехать, также составляет $S_2 = 60$ км.

Задержка составила 10 минут. Переведем это время в часы, так как скорость измеряется в км/ч:$10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}.$

Чтобы прибыть в пункт В вовремя, машинисту пришлось наверстать это время на второй половине пути.

Время, которое поезд должен был затратить на вторую половину пути по расписанию (с первоначальной скоростью), составляет:$t_{план} = \frac{S_2}{v} = \frac{60}{v}$ ч.

После задержки машинист увеличил скорость на 12 км/ч, так что новая скорость стала $v_{новая} = v + 12$ км/ч. Фактическое время, затраченное на вторую половину пути, равно:$t_{факт} = \frac{S_2}{v_{новая}} = \frac{60}{v + 12}$ ч.

Разница между плановым и фактическим временем движения на втором участке как раз равна времени задержки:$t_{план} - t_{факт} = \frac{1}{6}$ ч.

Составим и решим уравнение:$\frac{60}{v} - \frac{60}{v + 12} = \frac{1}{6}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:$\frac{60(v + 12) - 60v}{v(v + 12)} = \frac{1}{6}$

Раскроем скобки в числителе:$\frac{60v + 720 - 60v}{v^2 + 12v} = \frac{1}{6}$

$\frac{720}{v^2 + 12v} = \frac{1}{6}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):$v^2 + 12v = 720 \times 6$$v^2 + 12v = 4320$

Получаем квадратное уравнение:$v^2 + 12v - 4320 = 0$

Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4320) = 144 + 17280 = 17424$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{17424} = 132$.

Теперь найдем корни уравнения:$v_1 = \frac{-12 - 132}{2 \cdot 1} = \frac{-144}{2} = -72$$v_2 = \frac{-12 + 132}{2 \cdot 1} = \frac{120}{2} = 60$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_1 = -72$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первоначальная скорость поезда была 60 км/ч.

Ответ: первоначальная скорость поезда равна 60 км/ч.