Номер 31.12, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 31. Ещё одна формула корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 31.12, страница 177.

Условие.

31.12 Катер должен был пройти 36 км за определённое время, но был задержан с отправлением на 12 мин и поэтому, чтобы прийти вовремя, шёл со скоростью на 6 км/ч большей, чем предполагалось по расписанию. С какой скоростью шёл катер?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $v$ км/ч — это предполагавшаяся по расписанию скорость катера. Тогда фактическая скорость катера, с которой он шёл, была $(v+6)$ км/ч.

Расстояние, которое должен был пройти катер, составляет $S = 36$ км.

Время, которое катер должен был затратить по расписанию, равно $t_{план} = \frac{S}{v} = \frac{36}{v}$ ч.

Фактическое время, затраченное катером на путь, равно $t_{факт} = \frac{S}{v+6} = \frac{36}{v+6}$ ч.

Катер был задержан с отправлением на 12 минут. Чтобы использовать это значение в уравнении, переведем его в часы: $12 \text{ мин} = \frac{12}{60} \text{ ч} = \frac{1}{5}$ ч.

Поскольку катер прибыл вовремя, это означает, что он затратил на сам путь на 12 минут меньше, чем планировалось по расписанию. Таким образом, разница между плановым и фактическим временем движения составляет $\frac{1}{5}$ часа.

Составим и решим уравнение:

$t_{план} - t_{факт} = \frac{1}{5}$

$\frac{36}{v} - \frac{36}{v+6} = \frac{1}{5}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $v(v+6)$:

$\frac{36(v+6) - 36v}{v(v+6)} = \frac{1}{5}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{36v + 216 - 36v}{v^2 + 6v} = \frac{1}{5}$

$\frac{216}{v^2 + 6v} = \frac{1}{5}$

Используя свойство пропорции ("крест-накрест"), получаем:

$v^2 + 6v = 216 \cdot 5$

$v^2 + 6v = 1080$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 6v - 1080 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1080) = 36 + 4320 = 4356$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v = \frac{-6 \pm \sqrt{4356}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 66}{2}$

Уравнение имеет два корня:

$v_1 = \frac{-6 + 66}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$v_2 = \frac{-6 - 66}{2} = \frac{-72}{2} = -36$

Так как скорость ($v$) не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -36$ не соответствует условию задачи. Следовательно, предполагавшаяся скорость катера по расписанию составляла $v = 30$ км/ч.

Вопрос задачи: "С какой скоростью шёл катер?". Это значит, что нам нужно найти фактическую скорость, которая была на 6 км/ч больше плановой.

Фактическая скорость $= v + 6 = 30 + 6 = 36$ км/ч.

Ответ: 36 км/ч.