Номер 31.5, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 31. Ещё одна формула корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 31.5, страница 177.

Условие.

31.5 а) $4x^2 - 8x + 1 = 0;$

б) $9x^2 + 12x + 1 = 0;$

в) $4x^2 - 12x + 7 = 0;$

г) $25x^2 + 10x - 4 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для решения квадратного уравнения $4x^2 - 8x + 1 = 0$ воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Коэффициенты уравнения: $a=4$, $b=-8$, $c=1$. Поскольку коэффициент $b$ является четным числом, удобнее использовать формулу для четного второго коэффициента, где $k = b/2 = -8/2 = -4$.
Найдем дискриминант, деленный на 4: $D_1 = k^2 - ac$.
$D_1 = (-4)^2 - 4 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
Корни уравнения вычисляются по формуле $x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$.
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 3}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{4}$.
Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь: $x = \frac{2(2 \pm \sqrt{3})}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $x_1 = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}, x_2 = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}$.

б) Решим квадратное уравнение $9x^2 + 12x + 1 = 0$. Коэффициенты: $a=9$, $b=12$, $c=1$. Так как $b$ - четное, используем формулу с $k = b/2 = 12/2 = 6$.
Найдем дискриминант, деленный на 4: $D_1 = k^2 - ac$.
$D_1 = 6^2 - 9 \cdot 1 = 36 - 9 = 27$.
Корни уравнения вычисляются по формуле $x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$.
$x = \frac{-6 \pm \sqrt{27}}{9} = \frac{-6 \pm \sqrt{9 \cdot 3}}{9} = \frac{-6 \pm 3\sqrt{3}}{9}$.
Вынесем общий множитель 3 в числителе и сократим дробь: $x = \frac{3(-2 \pm \sqrt{3})}{9} = \frac{-2 \pm \sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $x_1 = \frac{-2 + \sqrt{3}}{3}, x_2 = \frac{-2 - \sqrt{3}}{3}$.

в) Решим квадратное уравнение $4x^2 - 12x + 7 = 0$. Коэффициенты: $a=4$, $b=-12$, $c=7$. Так как $b$ - четное, используем формулу с $k = b/2 = -12/2 = -6$.
Найдем дискриминант, деленный на 4: $D_1 = k^2 - ac$.
$D_1 = (-6)^2 - 4 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.
Корни уравнения вычисляются по формуле $x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$.
$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 2}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{4}$.
Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь: $x = \frac{2(3 \pm \sqrt{2})}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{2}}{2}, x_2 = \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$.

г) Решим квадратное уравнение $25x^2 + 10x - 4 = 0$. Коэффициенты: $a=25$, $b=10$, $c=-4$. Так как $b$ - четное, используем формулу с $k = b/2 = 10/2 = 5$.
Найдем дискриминант, деленный на 4: $D_1 = k^2 - ac$.
$D_1 = 5^2 - 25 \cdot (-4) = 25 + 100 = 125$.
Корни уравнения вычисляются по формуле $x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$.
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{125}}{25} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 \cdot 5}}{25} = \frac{-5 \pm 5\sqrt{5}}{25}$.
Вынесем общий множитель 5 в числителе и сократим дробь: $x = \frac{5(-1 \pm \sqrt{5})}{25} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{5}, x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{5}$.