Номер 31.2, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 31. Ещё одна формула корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 31.2, страница 176.

Условие.

31.2 a) $x^2 + 34x + 280 = 0$;

б) $x^2 - 16x - 132 = 0$;

B) $x^2 - 24x + 108 = 0$;

г) $x^2 + 26x - 120 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Решим квадратное уравнение $x^2 + 34x + 280 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где коэффициенты $a=1$, $b=34$, $c=280$. Так как коэффициент $b$ является четным числом, для решения удобно использовать формулу корней квадратного уравнения через четверть дискриминанта ($D_1$ или $D/4$). Сначала вычислим $k = \frac{b}{2}$: $k = \frac{34}{2} = 17$. Теперь вычислим $D_1$ по формуле $D_1 = k^2 - ac$: $D_1 = 17^2 - 1 \cdot 280 = 289 - 280 = 9$. Поскольку $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$: $x_1 = \frac{-17 - \sqrt{9}}{1} = -17 - 3 = -20$. $x_2 = \frac{-17 + \sqrt{9}}{1} = -17 + 3 = -14$.

Ответ: $-20; -14$.

б)

Решим квадратное уравнение $x^2 - 16x - 132 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-16$, $c=-132$. Поскольку коэффициент $b$ четный, воспользуемся формулой с $D_1$. $k = \frac{b}{2} = \frac{-16}{2} = -8$. Вычисляем $D_1$: $D_1 = k^2 - ac = (-8)^2 - 1 \cdot (-132) = 64 + 132 = 196$. $D_1 > 0$, следовательно, уравнение имеет два различных действительных корня. Находим корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$: $x_1 = \frac{-(-8) - \sqrt{196}}{1} = 8 - 14 = -6$. $x_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{196}}{1} = 8 + 14 = 22$.

Ответ: $-6; 22$.

в)

Решим квадратное уравнение $x^2 - 24x + 108 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-24$, $c=108$. Коэффициент $b$ четный, поэтому применяем формулу с $D_1$. $k = \frac{b}{2} = \frac{-24}{2} = -12$. Вычисляем $D_1$: $D_1 = k^2 - ac = (-12)^2 - 1 \cdot 108 = 144 - 108 = 36$. $D_1 > 0$, значит, у уравнения два различных действительных корня. Находим корни: $x_1 = \frac{-(-12) - \sqrt{36}}{1} = 12 - 6 = 6$. $x_2 = \frac{-(-12) + \sqrt{36}}{1} = 12 + 6 = 18$.

Ответ: $6; 18$.

г)

Решим квадратное уравнение $x^2 + 26x - 120 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=26$, $c=-120$. Коэффициент $b$ четный, используем формулу с $D_1$. $k = \frac{b}{2} = \frac{26}{2} = 13$. Вычисляем $D_1$: $D_1 = k^2 - ac = 13^2 - 1 \cdot (-120) = 169 + 120 = 289$. $D_1 > 0$, следовательно, уравнение имеет два различных действительных корня. Находим корни: $x_1 = \frac{-13 - \sqrt{289}}{1} = -13 - 17 = -30$. $x_2 = \frac{-13 + \sqrt{289}}{1} = -13 + 17 = 4$.

Ответ: $-30; 4$.