Номер 30.44, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.44, страница 176.

Условие.

30.44 В сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, добавили 100 г золота. В результате содержание золота в сплаве увеличилось на 20 %. Сколько граммов серебра в сплаве?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть масса серебра в первоначальном сплаве равна $x$ граммов.

Тогда исходный сплав имел следующие характеристики:
Масса золота: $80$ г.
Масса серебра: $x$ г.
Общая масса сплава: $M_1 = 80 + x$ г.
Содержание (концентрация) золота в исходном сплаве в долях от единицы составляло: $C_1 = \frac{80}{80 + x}$.

После того как в сплав добавили 100 г чистого золота, его характеристики стали следующими:
Новая масса золота: $80 + 100 = 180$ г.
Масса серебра не изменилась: $x$ г.
Общая масса нового сплава: $M_2 = (80 + x) + 100 = 180 + x$ г.
Новое содержание золота в сплаве: $C_2 = \frac{180}{180 + x}$.

По условию задачи, содержание золота в сплаве увеличилось на 20%. Это означает, что новая концентрация стала на 0,2 (что эквивалентно 20%) больше первоначальной. Математически это выражается как:
$C_2 = C_1 + 0.2$

Составим уравнение, подставив в него выражения для $C_1$ и $C_2$:
$\frac{180}{180 + x} = \frac{80}{80 + x} + 0.2$

Для решения уравнения перенесем дробь с переменной в левую часть:
$\frac{180}{180 + x} - \frac{80}{80 + x} = 0.2$

Умножим обе части уравнения на $(180 + x)(80 + x)$, чтобы избавиться от знаменателей. Поскольку масса $x$ должна быть положительной, знаменатели не могут быть равны нулю.
$180(80 + x) - 80(180 + x) = 0.2(180 + x)(80 + x)$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$14400 + 180x - 14400 - 80x = 0.2(180 + x)(80 + x)$
После упрощения левой части получаем:
$100x = 0.2(180 + x)(80 + x)$

Разделим обе части уравнения на 0.2 (что эквивалентно умножению на 5):
$500x = (180 + x)(80 + x)$

Теперь раскроем скобки в правой части:
$500x = 14400 + 180x + 80x + x^2$
$500x = x^2 + 260x + 14400$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 260x - 500x + 14400 = 0$
$x^2 - 240x + 14400 = 0$

Левая часть этого уравнения представляет собой полный квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=x$ и $b=120$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$(x - 120)^2 = 0$

Решая это простое уравнение, получаем:
$x - 120 = 0$
$x = 120$

Следовательно, масса серебра в сплаве составляет 120 граммов.

Проведем проверку найденного решения.
Первоначальная концентрация золота: $C_1 = \frac{80}{80 + 120} = \frac{80}{200} = 0.4$, что составляет 40%.
Конечная концентрация золота: $C_2 = \frac{180}{180 + 120} = \frac{180}{300} = 0.6$, что составляет 60%.
Увеличение концентрации: $60\% - 40\% = 20\%$. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 120 граммов.