Номер 30.39, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.39, страница 175.

Условие.

30.39 Турист проплыл на байдарке 15 км против течения реки и 14 км по течению, затратив на всё путешествие столько же времени, сколько ему понадобилось бы, чтобы проплыть по озеру 30 км. Зная, что скорость течения реки равна 1 км/ч, найдите скорость движения туриста по озеру.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость байдарки, которая равна скорости движения туриста по озеру (в стоячей воде). Это искомая величина.

Скорость течения реки по условию равна 1 км/ч. Исходя из этого, мы можем выразить скорость движения туриста по реке:

• Скорость по течению реки: $v_{по~течению} = x + 1$ км/ч.
• Скорость против течения реки: $v_{против~течения} = x - 1$ км/ч.

Важно учесть, что скорость движения против течения должна быть положительной величиной, поэтому $x - 1 > 0$, следовательно, $x > 1$ км/ч.

Теперь, используя формулу времени $t = \frac{S}{v}$ (где $S$ — расстояние, $v$ — скорость), определим время, затраченное на каждый отрезок пути.

Время, затраченное на 15 км против течения: $t_{против} = \frac{15}{x - 1}$ часов.

Время, затраченное на 14 км по течению: $t_{по} = \frac{14}{x + 1}$ часов.

Общее время, которое турист плыл по реке, является суммой этих двух времен:

$t_{река} = t_{против} + t_{по} = \frac{15}{x - 1} + \frac{14}{x + 1}$

По условию задачи, это время равно времени, которое понадобилось бы туристу, чтобы проплыть 30 км по озеру. Время движения по озеру рассчитывается как:

$t_{озеро} = \frac{30}{x}$ часов.

Приравняем время путешествия по реке и по озеру, чтобы составить уравнение:

$\frac{15}{x - 1} + \frac{14}{x + 1} = \frac{30}{x}$

Для решения этого рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$:

$\frac{15(x + 1) + 14(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{30}{x}$

Раскроем скобки и упростим числитель левой части:

$\frac{15x + 15 + 14x - 14}{x^2 - 1} = \frac{30}{x}$

$\frac{29x + 1}{x^2 - 1} = \frac{30}{x}$

Теперь применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$x(29x + 1) = 30(x^2 - 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$29x^2 + x = 30x^2 - 30$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$30x^2 - 29x^2 - x - 30 = 0$

$x^2 - x - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

По теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-1) = 1$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -30$

Подбирая целые числа, находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -5$.

Теперь нужно проверить, подходят ли нам найденные корни. Так как $x$ обозначает скорость, она не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -5$ не является решением задачи. Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию $x > 1$.

Следовательно, скорость движения туриста по озеру равна 6 км/ч.

Проверим полученный результат:

• Время движения по реке: $\frac{15}{6-1} + \frac{14}{6+1} = \frac{15}{5} + \frac{14}{7} = 3 + 2 = 5$ часов.
• Время движения по озеру: $\frac{30}{6} = 5$ часов.

Время совпало, значит, задача решена верно.

Ответ: 6 км/ч.