Номер 30.34, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.34, страница 174.

Условие.

30.34 Велосипедист рассчитывал проехать по маршруту $BC$ за $2 \text{ ч}$. Однако, когда до пункта $C$ оставалось $6 \text{ км}$, из-за встречного ветра он снизил скорость на $3 \text{ км/ч}$ и прибыл в пункт $C$ на $6 \text{ мин}$ позже, чем рассчитывал. Чему равна длина маршрута $BC$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $v$ (км/ч) – первоначально запланированная скорость велосипедиста. Весь маршрут ВС, согласно плану, велосипедист должен был проехать за 2 часа.

Из-за встречного ветра скорость была снижена на последних 6 км маршрута. Это означает, что задержка в пути произошла именно на этом участке.

Рассчитаем запланированное и фактическое время на преодоление последних 6 км.

Запланированное время на этом участке: $t_{план} = \frac{6}{v}$ ч.

Фактическая скорость на этом участке была на 3 км/ч меньше, то есть $v - 3$ км/ч.Фактическое время, затраченное на этот участок: $t_{факт} = \frac{6}{v - 3}$ ч.

Задержка составила 6 минут. Переведем минуты в часы: $6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = 0.1 \text{ ч}$.Разница между фактическим и запланированным временем на последнем участке равна общей задержке:$t_{факт} - t_{план} = 0.1$

Составим и решим уравнение, подставив выражения для времени:$\frac{6}{v - 3} - \frac{6}{v} = 0.1$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v - 3)$:$\frac{6v - 6(v - 3)}{v(v - 3)} = 0.1$

Упростим числитель:$\frac{6v - 6v + 18}{v^2 - 3v} = 0.1$

$\frac{18}{v^2 - 3v} = 0.1$

Из этого уравнения выразим $v^2 - 3v$:$v^2 - 3v = \frac{18}{0.1}$$v^2 - 3v = 180$

Мы получили квадратное уравнение:$v^2 - 3v - 180 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$$\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$

Найдем корни уравнения:$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 27}{2} = \frac{30}{2} = 15$$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 27}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, правильным является корень $v = 15$.Следовательно, запланированная скорость велосипедиста равна 15 км/ч.

Теперь мы можем найти длину маршрута BC, зная, что запланированное время в пути составляло 2 часа:$S = v \cdot t = 15 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 30 \text{ км}$.

Ответ: 30 км.