Номер 30.27, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.27, страница 174.

Условие.

30.27 Токарь должен был обработать 120 деталей к определённому сроку. Применив новый резец, он стал обтачивать в час на 20 деталей больше и поэтому закончил работу на 1 ч раньше срока. Сколько деталей в час он должен был обрабатывать по плану?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $x$ деталей в час — это производительность, которую токарь должен был иметь по плану. Тогда время, за которое он должен был обработать 120 деталей, составляет $\frac{120}{x}$ часов.

Применив новый резец, токарь стал обрабатывать на 20 деталей в час больше, то есть его новая производительность стала $x + 20$ деталей в час. Время, которое он фактически затратил на обработку 120 деталей, составило $\frac{120}{x + 20}$ часов.

По условию задачи, он закончил работу на 1 час раньше срока. Это означает, что плановое время больше фактического на 1 час. Составим уравнение:

$\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 20} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 20)$. Учитываем, что $x > 0$, так как производительность не может быть отрицательной или равной нулю.

$\frac{120(x + 20) - 120x}{x(x + 20)} = 1$

$\frac{120x + 2400 - 120x}{x^2 + 20x} = 1$

$\frac{2400}{x^2 + 20x} = 1$

$x^2 + 20x = 2400$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 20x - 2400 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-20 + \sqrt{10000}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 100}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$x_2 = \frac{-20 - \sqrt{10000}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 - 100}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Поскольку производительность $x$ не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -60$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, плановая производительность токаря составляет 40 деталей в час.

Ответ: 40 деталей в час.