Номер 30.20, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.20, страница 173.

Условие.

30.20 Лодочник проплыл 3 км по течению реки и 3 км против течения за то же время, за которое плот мог бы проплыть 4 км по течению. Собственная скорость лодки равна 6 км/ч. Найдите скорость течения реки.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость течения реки.

Собственная скорость лодки равна 6 км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(6 + x)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки — $(6 - x)$ км/ч.

Время, которое лодочник затратил на путь в 3 км по течению, равно $t_1 = \frac{3}{6 + x}$ часов.

Время, которое лодочник затратил на путь в 3 км против течения, равно $t_2 = \frac{3}{6 - x}$ часов.

Общее время, затраченное лодочником на весь путь, составляет $T_{лодки} = t_1 + t_2 = \frac{3}{6 + x} + \frac{3}{6 - x}$ часов.

Плот движется со скоростью течения реки, то есть его скорость равна $x$ км/ч. Время, за которое плот проплывет 4 км, составляет $T_{плота} = \frac{4}{x}$ часов.

Согласно условию задачи, время движения лодочника равно времени движения плота, поэтому мы можем составить уравнение: $$ \frac{3}{6 + x} + \frac{3}{6 - x} = \frac{4}{x} $$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(6 + x)(6 - x) = 36 - x^2$: $$ \frac{3(6 - x) + 3(6 + x)}{36 - x^2} = \frac{4}{x} $$ $$ \frac{18 - 3x + 18 + 3x}{36 - x^2} = \frac{4}{x} $$ $$ \frac{36}{36 - x^2} = \frac{4}{x} $$

Воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $$ 36x = 4(36 - x^2) $$

Разделим обе части уравнения на 4: $$ 9x = 36 - x^2 $$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ x^2 + 9x - 36 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225$.

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 15}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 15}{2} = \frac{-24}{2} = -12$.

По физическому смыслу задачи скорость течения реки не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -12$ не подходит. Также скорость течения должна быть меньше собственной скорости лодки, чтобы она могла двигаться против течения ($x < 6$). Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет обоим условиям ($0 < 3 < 6$).

Таким образом, скорость течения реки равна 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.