Номер 30.22, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.22, страница 173.

Условие.

30.22 Моторная лодка прошла по течению реки расстояние 6 км, затем по озеру 10 км, затратив на весь путь 1 ч. С какой скоростью она шла по озеру, если скорость течения реки равна 3 км/ч?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость моторной лодки. Скорость лодки при движении по озеру равна её собственной скорости, так как в озере нет течения (стоячая вода).

Скорость течения реки по условию равна $3$ км/ч. Когда лодка движется по течению реки, её скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения.
Скорость лодки по течению реки: $V_{по \ теч.} = (x + 3)$ км/ч.
Скорость лодки по озеру: $V_{по \ озеру} = x$ км/ч.

Теперь определим время, которое лодка затратила на каждый участок пути, используя формулу времени $t = \frac{S}{V}$, где $S$ — это расстояние, а $V$ — скорость.
Время движения по реке (расстояние 6 км): $t_1 = \frac{6}{x + 3}$ ч.
Время движения по озеру (расстояние 10 км): $t_2 = \frac{10}{x}$ ч.

Согласно условию, общее время, затраченное на весь путь, составляет $1$ час. Мы можем составить уравнение, приравняв сумму времени движения по реке и по озеру к общему времени:
$t_1 + t_2 = 1$
$\frac{6}{x + 3} + \frac{10}{x} = 1$

Теперь решим полученное рациональное уравнение. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x+3)$, чтобы избавиться от дробей. При этом необходимо учесть, что $x > 0$, так как скорость не может быть отрицательной или равной нулю.
$x(x+3) \cdot \left(\frac{6}{x + 3} + \frac{10}{x}\right) = 1 \cdot x(x+3)$
$6x + 10(x + 3) = x(x + 3)$
$6x + 10x + 30 = x^2 + 3x$
$16x + 30 = x^2 + 3x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 + 3x - 16x - 30 = 0$
$x^2 - 13x - 30 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае $a=1$, $b=-13$, $c=-30$.
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 169 + 120 = 289$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$
$x_1 = \frac{-(-13) + 17}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 17}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-(-13) - 17}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 17}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной величиной. Следовательно, единственным решением является $x = 15$. Это и есть собственная скорость лодки, а значит, и ее скорость по озеру.

Ответ: скорость лодки по озеру равна 15 км/ч.