Номер 30.16, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.16, страница 172.

Условие.

30.16 Члены школьного кружка натуралистов отправились на катере собирать лекарственные травы. Проплыв вниз по течению реки $35 \text{ км}$, они сделали трёхчасовую остановку, после чего вернулись назад. Определите скорость катера в стоячей воде, если всё путешествие заняло $7 \text{ ч}$, а скорость течения реки равна $3 \text{ км/ч}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость катера в стоячей воде. Тогда скорость катера по течению реки равна $(x + 3)$ км/ч, а скорость катера против течения реки — $(x - 3)$ км/ч. Важно отметить, что для движения против течения собственная скорость катера должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Катер проплыл 35 км вниз по течению. Время, затраченное на этот путь, составляет $t_1 = \frac{35}{x + 3}$ часов.

На обратный путь катер также проплыл 35 км, но уже против течения. Время, затраченное на обратный путь, составляет $t_2 = \frac{35}{x - 3}$ часов.

Общее время путешествия составило 7 часов. Из этого времени 3 часа была остановка. Следовательно, время, которое катер находился непосредственно в движении, равно $7 - 3 = 4$ часа.

Общее время движения складывается из времени движения по течению и времени движения против течения: $t_1 + t_2 = 4$. Составим и решим уравнение на основе этого:
$\frac{35}{x + 3} + \frac{35}{x - 3} = 4$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 9$:
$\frac{35(x - 3) + 35(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = 4$
$\frac{35x - 105 + 35x + 105}{x^2 - 9} = 4$
$\frac{70x}{x^2 - 9} = 4$

Умножим обе части уравнения на $(x^2 - 9)$, при условии, что $x^2 - 9 \neq 0$ (что выполняется, так как $x > 3$):
$70x = 4(x^2 - 9)$
$70x = 4x^2 - 36$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$4x^2 - 70x - 36 = 0$
Для удобства вычислений разделим все члены уравнения на 2:
$2x^2 - 35x - 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-35)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 1225 + 144 = 1369$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1369} = 37$.
Теперь найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 + 37}{2 \cdot 2} = \frac{72}{4} = 18$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 - 37}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Корень $x_2 = -0.5$ не подходит по физическому смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 18$ удовлетворяет условию $x > 3$. Следовательно, скорость катера в стоячей воде равна 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч.