Номер 30.10, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.10, страница 171.

Условие.

30.10 Автобус проехал с постоянной скоростью 40 км от пункта A до пункта B. Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньшей первоначальной, он затратил на 20 мин больше, чем на путь от A до B. Найдите первоначальную скорость автобуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

30.10 Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость автобуса. Расстояние от пункта А до пункта В равно 40 км. Время, затраченное на этот путь, вычисляется по формуле $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{40}{v}$ часов.

На обратном пути скорость автобуса была на 10 км/ч меньше, то есть составляла $v - 10$ км/ч. Время, затраченное на обратный путь, равно $t_2 = \frac{40}{v - 10}$ часов.

По условию задачи, на обратный путь автобус затратил на 20 минут больше. Переведем 20 минут в часы для согласованности единиц измерения: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.

Составим уравнение, исходя из того, что разница во времени $t_2 - t_1$ равна $\frac{1}{3}$ часа: $\frac{40}{v - 10} - \frac{40}{v} = \frac{1}{3}$.

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v - 10)$: $\frac{40v - 40(v - 10)}{v(v - 10)} = \frac{1}{3}$.

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение: $\frac{40v - 40v + 400}{v^2 - 10v} = \frac{1}{3}$, что приводит к $\frac{400}{v^2 - 10v} = \frac{1}{3}$.

Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем: $1 \cdot (v^2 - 10v) = 400 \cdot 3$, $v^2 - 10v = 1200$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $v^2 - 10v - 1200 = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200) = 100 + 4800 = 4900$.

Теперь найдем корни уравнения: $v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{4900}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 70}{2}$.

Получаем два возможных значения для скорости: $v_1 = \frac{10 + 70}{2} = \frac{80}{2} = 40$. $v_2 = \frac{10 - 70}{2} = \frac{-60}{2} = -30$.

Так как скорость по условию задачи не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -30$ не является решением. Следовательно, первоначальная скорость автобуса равна 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.