Номер 30.5, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.5, страница 171.

Условие.

30.5 Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый приезжает на место на 1 ч раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля, зная, что расстояние между городами равно 560 км.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи составим уравнение. Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Поскольку скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше, то его скорость будет $(x + 10)$ км/ч.

Расстояние между городами равно 560 км. Время движения ($t$) вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ – расстояние, а $v$ – скорость.

Время, за которое второй автомобиль проехал расстояние в 560 км, составляет $t_2 = \frac{560}{x}$ часов.

Время, за которое первый автомобиль проехал то же расстояние, составляет $t_1 = \frac{560}{x+10}$ часов.

Из условия известно, что первый автомобиль приехал на 1 час раньше второго. Это означает, что время второго автомобиля на 1 час больше времени первого: $t_2 - t_1 = 1$.

Подставим выражения для времени в это равенство и получим уравнение:

$\frac{560}{x} - \frac{560}{x+10} = 1$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на общий знаменатель $x(x+10)$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -10$. Так как $x$ – это скорость, она должна быть положительной, поэтому эти условия выполняются.

$560(x+10) - 560x = x(x+10)$

Раскроем скобки:

$560x + 5600 - 560x = x^2 + 10x$

Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 5600 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5600) = 100 + 22400 = 22500$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{22500}}{2} = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70$

$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{22500}}{2} = \frac{-10 - 150}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Корень $x_2 = -80$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, скорость второго автомобиля равна 70 км/ч.

Теперь найдем скорость первого автомобиля:

$x + 10 = 70 + 10 = 80$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля – 80 км/ч, скорость второго автомобиля – 70 км/ч.