Номер 29.27, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.27, страница 170.

Условие.

29.27 a) $x^2 + x + 1 = \frac{15}{x^2 + x + 3};$

б) $\frac{x^2 - x}{x^2 - x + 1} - \frac{x^2 - x + 2}{x^2 - x - 2} = 1;$

в) $x^2 + 3x = \frac{8}{x^2 + 3x - 2};$

г) $\frac{1}{x^2 - 3x + 3} + \frac{2}{x^2 - 3x + 4} = \frac{6}{x^2 - 3x + 5}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x^2 + x + 1 = \frac{15}{x^2 + x + 3}$

Данное уравнение является рациональным. Заметим, что в обеих частях уравнения присутствует выражение $x^2 + x$. Введем замену переменной.
Пусть $y = x^2 + x$. Тогда уравнение примет вид:
$y + 1 = \frac{15}{y + 3}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2 + x + 3 \neq 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1>0$), то выражение $x^2 + x + 3$ всегда больше нуля при любом значении $x$. Следовательно, ограничений на $x$ нет.

Решим уравнение относительно $y$, умножив обе части на $(y+3)$, при условии, что $y+3 \neq 0$ (что верно, т.к. $x^2+x+3 > 0$):
$(y + 1)(y + 3) = 15$
$y^2 + 3y + y + 3 = 15$
$y^2 + 4y - 12 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета:
$y_1 + y_2 = -4$
$y_1 \cdot y_2 = -12$
Отсюда $y_1 = 2$ и $y_2 = -6$.

Выполним обратную замену:
1) Если $y = 2$, то $x^2 + x = 2$.
$x^2 + x - 2 = 0$
По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1 \cdot x_2 = -2$.
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.

2) Если $y = -6$, то $x^2 + x = -6$.
$x^2 + x + 6 = 0$
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.
Ответ: $-2; 1$.

б) $\frac{x^2 - x}{x^2 - x + 1} - \frac{x^2 - x + 2}{x^2 - x - 2} = 1$

Введем замену переменной, так как выражение $x^2 - x$ повторяется.
Пусть $y = x^2 - x$. Уравнение примет вид:
$\frac{y}{y + 1} - \frac{y + 2}{y - 2} = 1$

ОДЗ для переменной $y$: $y + 1 \neq 0 \implies y \neq -1$ и $y - 2 \neq 0 \implies y \neq 2$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{y(y-2) - (y+2)(y+1)}{(y+1)(y-2)} = 1$
При условии $y \neq -1$ и $y \neq 2$, можем умножить обе части на знаменатель:
$y(y-2) - (y+2)(y+1) = (y+1)(y-2)$
$(y^2 - 2y) - (y^2 + 3y + 2) = y^2 - y - 2$
$y^2 - 2y - y^2 - 3y - 2 = y^2 - y - 2$
$-5y - 2 = y^2 - y - 2$
$y^2 + 4y = 0$
$y(y+4) = 0$

Получаем два корня для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = -4$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($y \neq -1$ и $y \neq 2$).

Выполним обратную замену:
1) Если $y = 0$, то $x^2 - x = 0$.
$x(x - 1) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

2) Если $y = -4$, то $x^2 - x = -4$.
$x^2 - x + 4 = 0$
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Проверим ОДЗ для исходного уравнения:
$x^2 - x + 1 \neq 0$ (всегда верно, $D < 0$)
$x^2 - x - 2 \neq 0 \implies (x-2)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 2, x \neq -1$.
Найденные корни $x=0$ и $x=1$ удовлетворяют этим условиям.
Ответ: $0; 1$.

в) $x^2 + 3x = \frac{8}{x^2 + 3x - 2}$

Введем замену переменной.
Пусть $y = x^2 + 3x$. Тогда уравнение примет вид:
$y = \frac{8}{y - 2}$

ОДЗ для $y$: $y - 2 \neq 0 \implies y \neq 2$.
Решим уравнение относительно $y$:
$y(y - 2) = 8$
$y^2 - 2y - 8 = 0$

По теореме Виета:
$y_1 + y_2 = 2$
$y_1 \cdot y_2 = -8$
Корни: $y_1 = 4$, $y_2 = -2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($y \neq 2$).

Выполним обратную замену:
1) Если $y = 4$, то $x^2 + 3x = 4$.
$x^2 + 3x - 4 = 0$
По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -3$ и $x_1 \cdot x_2 = -4$.
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -4$.

2) Если $y = -2$, то $x^2 + 3x = -2$.
$x^2 + 3x + 2 = 0$
По теореме Виета, $x_3 + x_4 = -3$ и $x_3 \cdot x_4 = 2$.
Корни: $x_3 = -1$, $x_4 = -2$.

ОДЗ исходного уравнения: $x^2 + 3x - 2 \neq 0$, что эквивалентно $y \neq 2$. Мы уже проверили это условие. Все четыре найденных корня являются решениями.
Ответ: $-4; -2; -1; 1$.

г) $\frac{1}{x^2 - 3x + 3} + \frac{2}{x^2 - 3x + 4} = \frac{6}{x^2 - 3x + 5}$

Введем замену переменной для упрощения уравнения.
Пусть $y = x^2 - 3x + 3$. Тогда $x^2 - 3x + 4 = y + 1$ и $x^2 - 3x + 5 = y + 2$.
Уравнение примет вид:
$\frac{1}{y} + \frac{2}{y + 1} = \frac{6}{y + 2}$

ОДЗ для $y$: $y \neq 0$, $y \neq -1$, $y \neq -2$.
Исследуем выражение $y = x^2 - 3x + 3$. Его дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 < 0$. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox и всегда положительна. Минимальное значение достигается при $x = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}$ и равно $y_{min} = (\frac{3}{2})^2 - 3(\frac{3}{2}) + 3 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 3 = \frac{9-18+12}{4} = \frac{3}{4}$.
Таким образом, $y \ge \frac{3}{4}$, и все условия ОДЗ для $y$ выполняются автоматически.

Приведем уравнение к общему знаменателю $y(y+1)(y+2)$:
$\frac{(y+1)(y+2) + 2y(y+2)}{y(y+1)(y+2)} = \frac{6y(y+1)}{y(y+1)(y+2)}$
$(y+1)(y+2) + 2y(y+2) = 6y(y+1)$
$(y^2 + 3y + 2) + (2y^2 + 4y) = 6y^2 + 6y$
$3y^2 + 7y + 2 = 6y^2 + 6y$
$3y^2 - y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$:
$D_y = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$
$y_1 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
$y_2 = \frac{1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Сравним найденные корни с условием $y \ge \frac{3}{4}$:
$y_1 = 1$. Так как $1 \ge \frac{3}{4}$, это значение подходит.
$y_2 = -\frac{2}{3}$. Так как $-\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$, это посторонний корень, так как $y=x^2-3x+3$ не может принимать такое значение.

Выполним обратную замену для $y=1$:
$x^2 - 3x + 3 = 1$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 3$ и $x_1 \cdot x_2 = 2$.
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Ответ: $1; 2$.