Номер 30.2, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.2, страница 170.

Условие.

30.2 Велосипедист проехал 18 км с определённой скоростью, а оставшиеся 6 км со скоростью на 6 км/ч меньшей первоначальной. Найдите скорость велосипедиста на втором участке пути, если на весь путь он затратил 1,5 ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $x$ км/ч — это скорость велосипедиста на втором участке пути. Согласно условию задачи, это и есть искомая величина.

Скорость на первом участке была на 6 км/ч больше, чем на втором, значит, она составляла $(x + 6)$ км/ч.

Весь путь состоит из двух участков. Для нахождения времени воспользуемся формулой $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, затраченное на первый участок пути (18 км): $t_1 = \frac{18}{x+6}$ ч.

Время, затраченное на второй участок пути (6 км): $t_2 = \frac{6}{x}$ ч.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 1,5 часа. Можем составить уравнение, сложив время, потраченное на каждый из участков:

$t_1 + t_2 = 1,5$

$\frac{18}{x+6} + \frac{6}{x} = 1,5$

Для решения данного уравнения необходимо учесть, что скорость $x$ должна быть положительной, то есть $x > 0$. Представим 1,5 в виде дроби $\frac{3}{2}$:

$\frac{18}{x+6} + \frac{6}{x} = \frac{3}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2x(x+6)$ и умножим на него обе части уравнения, чтобы избавиться от дробей:

$18 \cdot 2x + 6 \cdot 2(x+6) = 3 \cdot x(x+6)$

$36x + 12(x+6) = 3x(x+6)$

Раскроем скобки:

$36x + 12x + 72 = 3x^2 + 18x$

Сгруппируем все члены в одной части уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$48x + 72 = 3x^2 + 18x$

$3x^2 + 18x - 48x - 72 = 0$

$3x^2 - 30x - 72 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 3:

$x^2 - 10x - 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{196}}{2} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{196}}{2} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной величиной. Следовательно, единственное верное решение — $x = 12$.

Таким образом, скорость велосипедиста на втором участке пути равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.