Номер 29.26, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.26, страница 169.

Условие.

29.26 a) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 3) = 3;$

б) $\frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = 2.9;$

в) $(x^2 - 5x + 7)^2 - (x - 2)(x - 3) = 1;$

г) $\frac{x^2 + x - 5}{x} + \frac{3x}{x^2 + x - 5} + 4 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 3) = 3$

Это уравнение можно упростить, введя замену. Заметим, что выражение $x^2 - 3x$ повторяется в обоих множителях.
Пусть $t = x^2 - 3x$. Тогда уравнение принимает вид:
$(t + 1)(t + 3) = 3$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$t^2 + 3t + t + 3 = 3$
$t^2 + 4t + 3 = 3$

Перенесем 3 в левую часть:
$t^2 + 4t = 0$

Вынесем $t$ за скобки:
$t(t + 4) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$:
$t_1 = 0$ или $t_2 = -4$.

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.
1) Если $t = 0$, то:
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
Получаем корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.

2) Если $t = -4$, то:
$x^2 - 3x = -4$
$x^2 - 3x + 4 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 3$.

б) $\frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = 2,9$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ и $x^2 + 1 \neq 0$. Второе условие выполняется для любого действительного $x$. Итак, ОДЗ: $x \neq 0$.
Заметим, что дроби в левой части являются взаимно обратными. Введем замену.
Пусть $t = \frac{x^2 + 1}{x}$. Тогда $\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{t}$.
Представим 2,9 в виде обыкновенной дроби: $2,9 = \frac{29}{10}$.

Уравнение принимает вид:
$t + \frac{1}{t} = \frac{29}{10}$

Умножим обе части уравнения на $10t$ (при условии $t \neq 0$):
$10t^2 + 10 = 29t$
$10t^2 - 29t + 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$.
$D = (-29)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 10 = 841 - 400 = 441 = 21^2$.
$t = \frac{29 \pm \sqrt{441}}{2 \cdot 10} = \frac{29 \pm 21}{20}$.
$t_1 = \frac{29 + 21}{20} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$.
$t_2 = \frac{29 - 21}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.

Выполним обратную замену.
1) Если $t = \frac{5}{2}$, то:
$\frac{x^2 + 1}{x} = \frac{5}{2}$
$2(x^2 + 1) = 5x$
$2x^2 - 5x + 2 = 0$
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$x = \frac{5 \pm 3}{4}$.
$x_1 = \frac{5+3}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$.

2) Если $t = \frac{2}{5}$, то:
$\frac{x^2 + 1}{x} = \frac{2}{5}$
$5(x^2 + 1) = 2x$
$5x^2 - 2x + 5 = 0$
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 4 - 100 = -96$.
Поскольку $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Оба найденных корня $2$ и $0,5$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $0,5; 2$.

в) $(x^2 - 5x + 7)^2 - (x - 2)(x - 3) = 1$

Раскроем скобки во втором слагаемом:
$(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(x^2 - 5x + 7)^2 - (x^2 - 5x + 6) = 1$.

Заметим, что выражения в скобках очень похожи. Введем замену.
Пусть $t = x^2 - 5x + 6$. Тогда $x^2 - 5x + 7 = t + 1$.

Уравнение принимает вид:
$(t + 1)^2 - t = 1$

Раскроем скобки и упростим:
$t^2 + 2t + 1 - t = 1$
$t^2 + t = 0$

Вынесем $t$ за скобки:
$t(t + 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$:
$t_1 = 0$ или $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену.
1) Если $t = 0$, то:
$x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

2) Если $t = -1$, то:
$x^2 - 5x + 6 = -1$
$x^2 - 5x + 7 = 0$
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.
Поскольку $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Ответ: $2; 3$.

г) $\frac{x^2 + x - 5}{x} + \frac{3x}{x^2 + x - 5} + 4 = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x^2 + x - 5 \neq 0$.
Введем замену. Пусть $t = \frac{x^2 + x - 5}{x}$.
Тогда $\frac{3x}{x^2 + x - 5} = \frac{3}{t}$.

Уравнение принимает вид:
$t + \frac{3}{t} + 4 = 0$

Умножим обе части на $t$ (при $t \neq 0$):
$t^2 + 3 + 4t = 0$
$t^2 + 4t + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета:
$t_1 = -1$, $t_2 = -3$.

Выполним обратную замену.
1) Если $t = -1$, то:
$\frac{x^2 + x - 5}{x} = -1$
$x^2 + x - 5 = -x$
$x^2 + 2x - 5 = 0$
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$.
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -1 \pm \sqrt{6}$.
$x_1 = -1 + \sqrt{6}$, $x_2 = -1 - \sqrt{6}$.

2) Если $t = -3$, то:
$\frac{x^2 + x - 5}{x} = -3$
$x^2 + x - 5 = -3x$
$x^2 + 4x - 5 = 0$
По теореме Виета находим корни: $x_3 = 1$, $x_4 = -5$.

Все четыре найденных корня $(-1 \pm \sqrt{6}, 1, -5)$ не равны нулю. Проверим условие $x^2 + x - 5 \neq 0$. Корни этого уравнения $x = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$. Ни один из наших ответов не совпадает с этими значениями. Следовательно, все четыре корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-5; 1; -1 - \sqrt{6}; -1 + \sqrt{6}$.