Номер 29.20, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.20, страница 168.

Условие.

29.20 а) $ \frac{8}{16x^2 - 9} - \frac{8}{16x^2 - 24x + 9} = \frac{1}{4x^2 + 3x} $;

б) $ \frac{18}{4x^2 + 4x + 1} - \frac{1}{2x^2 - x} = \frac{6}{4x^2 - 1} $;

в) $ \frac{x + 3}{4x^2 - 9} - \frac{3 - x}{4x^2 + 12x + 9} = \frac{2}{2x - 3} $;

г) $ \frac{1 + 2x}{6x^2 - 3x} - \frac{2x - 1}{14x^2 + 7x} = \frac{8}{12x^2 - 3} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{8}{16x^2 - 9} - \frac{8}{16x^2 - 24x + 9} = \frac{1}{4x^2 + 3x}$

Сначала разложим знаменатели на множители. Используем формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$16x^2 - 9 = (4x)^2 - 3^2 = (4x - 3)(4x + 3)$

$16x^2 - 24x + 9 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2 = (4x - 3)^2$

$4x^2 + 3x = x(4x + 3)$

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$\frac{8}{(4x - 3)(4x + 3)} - \frac{8}{(4x - 3)^2} = \frac{1}{x(4x + 3)}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не обращаются в ноль: $x \neq 0$, $4x - 3 \neq 0$ (т.е. $x \neq \frac{3}{4}$), и $4x + 3 \neq 0$ (т.е. $x \neq -\frac{3}{4}$).

Общий знаменатель для всех дробей: $x(4x + 3)(4x - 3)^2$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:

$8 \cdot x(4x - 3) - 8 \cdot x(4x + 3) = 1 \cdot (4x - 3)^2$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$8x((4x - 3) - (4x + 3)) = (4x - 3)^2$

$8x(4x - 3 - 4x - 3) = 16x^2 - 24x + 9$

$8x(-6) = 16x^2 - 24x + 9$

$-48x = 16x^2 - 24x + 9$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$16x^2 - 24x + 48x + 9 = 0$

$16x^2 + 24x + 9 = 0$

Полученное выражение является полным квадратом суммы: $(4x + 3)^2 = 0$.

Решая это уравнение, получаем $4x + 3 = 0$, откуда $x = -\frac{3}{4}$.

Сравним найденный корень с ОДЗ. Мы установили, что $x \neq -\frac{3}{4}$. Следовательно, найденный корень является посторонним и не может быть решением уравнения.

Ответ: нет решений.

б) $\frac{18}{4x^2 + 4x + 1} - \frac{1}{2x^2 - x} = \frac{6}{4x^2 - 1}$

Разложим знаменатели на множители, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2$

$2x^2 - x = x(2x - 1)$

$4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$

Перепишем уравнение:

$\frac{18}{(2x + 1)^2} - \frac{1}{x(2x - 1)} = \frac{6}{(2x - 1)(2x + 1)}$

ОДЗ: $x \neq 0$, $2x - 1 \neq 0$ (т.е. $x \neq \frac{1}{2}$), $2x + 1 \neq 0$ (т.е. $x \neq -\frac{1}{2}$).

Общий знаменатель: $x(2x - 1)(2x + 1)^2$. Умножим обе части уравнения на него:

$18 \cdot x(2x - 1) - 1 \cdot (2x + 1)^2 = 6 \cdot x(2x + 1)$

Раскроем скобки и упростим:

$18(2x^2 - x) - (4x^2 + 4x + 1) = 6(2x^2 + x)$

$36x^2 - 18x - 4x^2 - 4x - 1 = 12x^2 + 6x$

Приведем подобные слагаемые:

$32x^2 - 22x - 1 = 12x^2 + 6x$

$32x^2 - 12x^2 - 22x - 6x - 1 = 0$

$20x^2 - 28x - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-28)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-1) = 784 + 80 = 864$

$\sqrt{D} = \sqrt{864} = \sqrt{144 \cdot 6} = 12\sqrt{6}$

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{28 \pm 12\sqrt{6}}{2 \cdot 20} = \frac{28 \pm 12\sqrt{6}}{40} = \frac{4(7 \pm 3\sqrt{6})}{40} = \frac{7 \pm 3\sqrt{6}}{10}$

Оба корня, $x_1 = \frac{7 + 3\sqrt{6}}{10}$ и $x_2 = \frac{7 - 3\sqrt{6}}{10}$, не совпадают с исключенными значениями из ОДЗ ($0, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}$), следовательно, являются решениями уравнения.

Ответ: $x = \frac{7 \pm 3\sqrt{6}}{10}$.

в) $\frac{x + 3}{4x^2 - 9} - \frac{3 - x}{4x^2 + 12x + 9} = \frac{2}{2x - 3}$

Разложим знаменатели на множители:

$4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3)$

$4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$

Заметим, что $3 - x = -(x - 3)$. Подставим это в уравнение:

$\frac{x + 3}{(2x - 3)(2x + 3)} - \frac{-(x - 3)}{(2x + 3)^2} = \frac{2}{2x - 3}$

$\frac{x + 3}{(2x - 3)(2x + 3)} + \frac{x - 3}{(2x + 3)^2} = \frac{2}{2x - 3}$

ОДЗ: $2x - 3 \neq 0$ (т.е. $x \neq \frac{3}{2}$) и $2x + 3 \neq 0$ (т.е. $x \neq -\frac{3}{2}$).

Общий знаменатель: $(2x - 3)(2x + 3)^2$. Умножим на него обе части уравнения:

$(x + 3)(2x + 3) + (x - 3)(2x - 3) = 2(2x + 3)^2$

Раскроем скобки:

$(2x^2 + 3x + 6x + 9) + (2x^2 - 3x - 6x + 9) = 2(4x^2 + 12x + 9)$

$(2x^2 + 9x + 9) + (2x^2 - 9x + 9) = 8x^2 + 24x + 18$

Приведем подобные слагаемые:

$4x^2 + 18 = 8x^2 + 24x + 18$

Перенесем все члены в одну сторону:

$8x^2 - 4x^2 + 24x + 18 - 18 = 0$

$4x^2 + 24x = 0$

Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(x + 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$4x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

$x + 6 = 0 \Rightarrow x_2 = -6$

Оба корня, $x=0$ и $x=-6$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $0; -6$.

г) $\frac{1 + 2x}{6x^2 - 3x} - \frac{2x - 1}{14x^2 + 7x} = \frac{8}{12x^2 - 3}$

Разложим знаменатели на множители:

$6x^2 - 3x = 3x(2x - 1)$

$14x^2 + 7x = 7x(2x + 1)$

$12x^2 - 3 = 3(4x^2 - 1) = 3(2x - 1)(2x + 1)$

Перепишем уравнение, упорядочив слагаемые в числителе первой дроби:

$\frac{2x + 1}{3x(2x - 1)} - \frac{2x - 1}{7x(2x + 1)} = \frac{8}{3(2x - 1)(2x + 1)}$

ОДЗ: $x \neq 0$, $2x - 1 \neq 0$ (т.е. $x \neq \frac{1}{2}$), $2x + 1 \neq 0$ (т.е. $x \neq -\frac{1}{2}$).

Общий знаменатель: $21x(2x - 1)(2x + 1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$7(2x + 1)(2x + 1) - 3(2x - 1)(2x - 1) = 7x \cdot 8$

$7(2x + 1)^2 - 3(2x - 1)^2 = 56x$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$7(4x^2 + 4x + 1) - 3(4x^2 - 4x + 1) = 56x$

$28x^2 + 28x + 7 - (12x^2 - 12x + 3) = 56x$

$28x^2 + 28x + 7 - 12x^2 + 12x - 3 = 56x$

Приведем подобные слагаемые:

$16x^2 + 40x + 4 = 56x$

$16x^2 - 16x + 4 = 0$

Разделим всё уравнение на 4 для упрощения:

$4x^2 - 4x + 1 = 0$

Это выражение является полным квадратом разности: $(2x - 1)^2 = 0$.

Отсюда следует, что $2x - 1 = 0$, то есть $x = \frac{1}{2}$.

Сравним найденный корень с ОДЗ. Мы установили, что $x \neq \frac{1}{2}$. Следовательно, полученный корень является посторонним.

Ответ: нет решений.