Номер 29.15, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.15, страница 168.

Условие.

29.15 а) $4x^4 - 37x^2 + 9 = 0$;

б) $9x^4 + 32x^2 - 16 = 0$;

в) $16x^4 - 25x^2 + 9 = 0$;

г) $9x^4 - 32x^2 - 16 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дано биквадратное уравнение $4x^4 - 37x^2 + 9 = 0$.
Это уравнение решается путем введения новой переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.
Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение: $4t^2 - 37t + 9 = 0$.
Найдем дискриминант этого уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-37)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 1369 - 144 = 1225$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-(-37) + 35}{2 \cdot 4} = \frac{37 + 35}{8} = \frac{72}{8} = 9$.
$t_2 = \frac{-(-37) - 35}{2 \cdot 4} = \frac{37 - 35}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Оба корня ($9$ и $\frac{1}{4}$) положительные, следовательно, удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену для каждого корня $t$:
1) При $t = 9$, получаем $x^2 = 9$, откуда $x = \pm\sqrt{9}$, то есть $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
2) При $t = \frac{1}{4}$, получаем $x^2 = \frac{1}{4}$, откуда $x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$, то есть $x_3 = \frac{1}{2}$ и $x_4 = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -3, x_3 = \frac{1}{2}, x_4 = -\frac{1}{2}$.

б) Дано биквадратное уравнение $9x^4 + 32x^2 - 16 = 0$.
Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Уравнение примет вид: $9t^2 + 32t - 16 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = 32^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-16) = 1024 + 576 = 1600$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1600} = 40$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-32 + 40}{2 \cdot 9} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.
$t_2 = \frac{-32 - 40}{2 \cdot 9} = \frac{-72}{18} = -4$.
Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Рассмотрим единственный подходящий корень $t_1 = \frac{4}{9}$.
Выполним обратную замену: $x^2 = \frac{4}{9}$.
Отсюда $x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}$, то есть $x_1 = \frac{2}{3}$ и $x_2 = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -\frac{2}{3}$.

в) Дано биквадратное уравнение $16x^4 - 25x^2 + 9 = 0$.
Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).
Получим квадратное уравнение: $16t^2 - 25t + 9 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-25)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 625 - 576 = 49$.
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-(-25) + 7}{2 \cdot 16} = \frac{25 + 7}{32} = \frac{32}{32} = 1$.
$t_2 = \frac{-(-25) - 7}{2 \cdot 16} = \frac{25 - 7}{32} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$.
Оба корня ($1$ и $\frac{9}{16}$) положительные и удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену:
1) При $t = 1$, получаем $x^2 = 1$, откуда $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
2) При $t = \frac{9}{16}$, получаем $x^2 = \frac{9}{16}$, откуда $x = \pm\sqrt{\frac{9}{16}}$, то есть $x_3 = \frac{3}{4}$ и $x_4 = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1, x_3 = \frac{3}{4}, x_4 = -\frac{3}{4}$.

г) Дано биквадратное уравнение $9x^4 - 32x^2 - 16 = 0$.
Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Уравнение примет вид: $9t^2 - 32t - 16 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-32)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-16) = 1024 + 576 = 1600$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1600} = 40$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-(-32) + 40}{2 \cdot 9} = \frac{32 + 40}{18} = \frac{72}{18} = 4$.
$t_2 = \frac{-(-32) - 40}{2 \cdot 9} = \frac{32 - 40}{18} = \frac{-8}{18} = -\frac{4}{9}$.
Корень $t_2 = -\frac{4}{9}$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, отбрасываем его.
Остается один корень $t_1 = 4$.
Выполним обратную замену: $x^2 = 4$.
Отсюда $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2$.