Номер 29.11, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.11, страница 167.

Условие.

29.11 а) $\frac{3x}{x-1} + \frac{4}{x+1} = \frac{6}{x^2-1};$

б) $\frac{x}{x-5} - \frac{6}{x+5} = \frac{3x+35}{x^2-25};$

в) $\frac{2x}{x+3} + \frac{30}{x^2-9} = \frac{5}{x-3};$

г) $\frac{2}{x-4} + \frac{x}{x+4} = \frac{20-3x}{x^2-16}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Исходное уравнение: $ \frac{3x}{x-1} + \frac{4}{x+1} = \frac{6}{x^2-1} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $ x-1 \neq 0 $ и $ x+1 \neq 0 $. Отсюда следует, что $ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $.

Знаменатель в правой части уравнения можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $ x^2-1 = (x-1)(x+1) $. Таким образом, общий знаменатель для всех дробей в уравнении — это $ (x-1)(x+1) $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-1)(x+1) $, чтобы избавиться от дробей:

$ \frac{3x \cdot (x-1)(x+1)}{x-1} + \frac{4 \cdot (x-1)(x+1)}{x+1} = \frac{6 \cdot (x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} $

После сокращения дробей получаем целое уравнение:

$ 3x(x+1) + 4(x-1) = 6 $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 3x^2 + 3x + 4x - 4 = 6 $

$ 3x^2 + 7x - 4 - 6 = 0 $

$ 3x^2 + 7x - 10 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 49 + 120 = 169 = 13^2 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3} $

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $). Корень $ x_1 = 1 $ не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, является посторонним. Корень $ x_2 = -\frac{10}{3} $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ -\frac{10}{3} $.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{x}{x-5} - \frac{6}{x+5} = \frac{3x+35}{x^2-25} $.

ОДЗ: $ x-5 \neq 0 \implies x \neq 5 $ и $ x+5 \neq 0 \implies x \neq -5 $.

Общий знаменатель $ x^2-25 = (x-5)(x+5) $. Умножим обе части уравнения на $ (x-5)(x+5) $:

$ x(x+5) - 6(x-5) = 3x+35 $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ x^2 + 5x - 6x + 30 = 3x+35 $

$ x^2 - x + 30 = 3x+35 $

Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2 - x - 3x + 30 - 35 = 0 $

$ x^2 - 4x - 5 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2 $

$ x_1 = \frac{-(-4) + 6}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5 $

$ x_2 = \frac{-(-4) - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 $

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 5 $ и $ x \neq -5 $). Корень $ x_1 = 5 $ не входит в ОДЗ, значит, он является посторонним. Корень $ x_2 = -1 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ -1 $.

в)

Исходное уравнение: $ \frac{2x}{x+3} + \frac{30}{x^2-9} = \frac{5}{x-3} $.

ОДЗ: $ x+3 \neq 0 \implies x \neq -3 $ и $ x-3 \neq 0 \implies x \neq 3 $.

Приведем все дроби к общему знаменателю $ x^2-9 = (x-3)(x+3) $. Для этого перенесем все члены в одну сторону:

$ \frac{2x}{x+3} + \frac{30}{(x-3)(x+3)} - \frac{5}{x-3} = 0 $

$ \frac{2x(x-3) + 30 - 5(x+3)}{(x-3)(x+3)} = 0 $

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решаем уравнение для числителя, учитывая ОДЗ:

$ 2x(x-3) + 30 - 5(x+3) = 0 $

$ 2x^2 - 6x + 30 - 5x - 15 = 0 $

$ 2x^2 - 11x + 15 = 0 $

Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$ D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 121 - 120 = 1 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{11 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 $

$ x_2 = \frac{11 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5 $

Проверим корни. Корень $ x_1 = 3 $ не удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 3 $), следовательно, он посторонний. Корень $ x_2 = 2.5 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 2.5 $.

г)

Исходное уравнение: $ \frac{2}{x-4} + \frac{x}{x+4} = \frac{20-3x}{x^2-16} $.

ОДЗ: $ x-4 \neq 0 \implies x \neq 4 $ и $ x+4 \neq 0 \implies x \neq -4 $.

Общий знаменатель $ x^2-16 = (x-4)(x+4) $. Умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей:

$ 2(x+4) + x(x-4) = 20-3x $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 2x + 8 + x^2 - 4x = 20-3x $

$ x^2 - 2x + 8 = 20-3x $

Перенесем все члены в левую часть:

$ x^2 - 2x + 3x + 8 - 20 = 0 $

$ x^2 + x - 12 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна -1, а их произведение равно -12. Отсюда корни $ x_1 = 3, x_2 = -4 $. Либо найдем их через дискриминант:

$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2 $

$ x_1 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 $

$ x_2 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4 $

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 4 $ и $ x \neq -4 $). Корень $ x_1 = 3 $ удовлетворяет ОДЗ. Корень $ x_2 = -4 $ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним.

Ответ: $ 3 $.