Номер 29.4, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.4, страница 166.

Условие.

29.4 а) $\frac{6}{x+1} = \frac{x^2-5x}{x+1}$;

б) $\frac{x^2-6}{x-3} = \frac{x}{x-3}$;

в) $\frac{x-x^2}{5-x} = \frac{-20}{5-x}$;

г) $\frac{3x^2-x}{1-x} = \frac{2}{1-x}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Решим уравнение $\frac{6}{x + 1} = \frac{x^2 - 5x}{x + 1}$.
Данное уравнение является рациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условием, что знаменатель не должен быть равен нулю. Таким образом, $x + 1 \neq 0$, что означает $x \neq -1$.
Поскольку знаменатели в обеих частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять числители, при условии, что решение будет удовлетворять ОДЗ.
$6 = x^2 - 5x$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 5x - 6 = 0$
Для решения этого уравнения можно использовать теорему Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Легко подобрать корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.
Другой способ — через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 7}{2}$
$x_1 = \frac{5 + 7}{2} = 6$
$x_2 = \frac{5 - 7}{2} = -1$
Теперь проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ ($x \neq -1$).
Корень $x = 6$ удовлетворяет условию ОДЗ.
Корень $x = -1$ не удовлетворяет условию ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 6.

б) Решим уравнение $\frac{x^2 - 6}{x - 3} = \frac{x}{x - 3}$.
ОДЗ: $x - 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$.
Приравниваем числители, так как знаменатели равны:
$x^2 - 6 = x$
$x^2 - x - 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Отсюда находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 3$).
Корень $x = 3$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.
Корень $x = -2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -2.

в) Решим уравнение $\frac{x - x^2}{5 - x} = \frac{-20}{5 - x}$.
ОДЗ: $5 - x \neq 0$, следовательно, $x \neq 5$.
Приравниваем числители:
$x - x^2 = -20$
$x^2 - x - 20 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -20$. Корнями являются числа $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 5$).
Корень $x = 5$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Корень $x = -4$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -4.

г) Решим уравнение $\frac{3x^2 - x}{1 - x} = \frac{2}{1 - x}$.
ОДЗ: $1 - x \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.
Приравниваем числители:
$3x^2 - x = 2$
$3x^2 - x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm 5}{6}$
$x_1 = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1$
$x_2 = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$).
Корень $x = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Корень $x = -\frac{2}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-\frac{2}{3}$.