Номер 28.48, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.48, страница 165.

Условие.

28.48 Решите уравнение:

a) $x^2 + 5x - \frac{6|x|}{x} = 0;$

б) $\frac{x^3}{|x|} - 7x + 12 = 0;$

в) $x^2 + \frac{5x^2}{|x|} - 6 = 0;$

г) $x \cdot |x| + 7x + 12 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x^2 + 5x - \frac{6|x|}{x} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $x \neq 0$, так как в знаменателе стоит $x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Пусть $x > 0$. Тогда $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x^2 + 5x - \frac{6x}{x} = 0$

$x^2 + 5x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а произведение равно $-6$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.

Так как мы рассматриваем случай $x > 0$, то корень $x_2 = -6$ не подходит. Остается корень $x_1 = 1$.

2. Пусть $x < 0$. Тогда $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$x^2 + 5x - \frac{6(-x)}{x} = 0$

$x^2 + 5x - (-6) = 0$

$x^2 + 5x + 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а произведение равно $6$. Корни: $x_3 = -2$ и $x_4 = -3$.

Оба корня удовлетворяют условию $x < 0$, поэтому оба являются решениями.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем три корня.

Ответ: $-3; -2; 1$.

б) $\frac{x^3}{|x|} - 7x + 12 = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Рассмотрим два случая:

1. Пусть $x > 0$. Тогда $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$\frac{x^3}{x} - 7x + 12 = 0$

$x^2 - 7x + 12 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $7$, а произведение равно $12$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют условию $x > 0$.

2. Пусть $x < 0$. Тогда $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$\frac{x^3}{-x} - 7x + 12 = 0$

$-x^2 - 7x + 12 = 0$

$x^2 + 7x - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49 + 48 = 97$.

Корни: $x_{3,4} = \frac{-7 \pm \sqrt{97}}{2}$.

$x_3 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{2}$. Так как $\sqrt{97} > \sqrt{49} = 7$, то этот корень положителен ($x_3 > 0$) и не удовлетворяет условию $x < 0$.

$x_4 = \frac{-7 - \sqrt{97}}{2}$. Этот корень отрицателен ($x_4 < 0$) и является решением.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем три корня.

Ответ: $3; 4; \frac{-7 - \sqrt{97}}{2}$.

в) $x^2 + \frac{5x^2}{|x|} - 6 = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Перепишем уравнение:

$|x|^2 + \frac{5|x|^2}{|x|} - 6 = 0$

Так как $x \neq 0$, то $|x| \neq 0$, и мы можем сократить дробь:

$|x|^2 + 5|x| - 6 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$. Так как $x \neq 0$, то $t > 0$.

$t^2 + 5t - 6 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -6$.

Условию $t > 0$ удовлетворяет только $t_1 = 1$.

Вернемся к исходной переменной:

$|x| = 1$

Отсюда получаем два корня: $x = 1$ и $x = -1$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-1; 1$.

г) $x \cdot |x| + 7x + 12 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Пусть $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x \cdot x + 7x + 12 = 0$

$x^2 + 7x + 12 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а произведение равно $12$. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -4$.

Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x \ge 0$. В этом случае решений нет.

2. Пусть $x < 0$. Тогда $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$x \cdot (-x) + 7x + 12 = 0$

$-x^2 + 7x + 12 = 0$

$x^2 - 7x - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49 + 48 = 97$.

Корни: $x_{3,4} = \frac{7 \pm \sqrt{97}}{2}$.

$x_3 = \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$. Так как $\sqrt{97} > 0$, этот корень очевидно положителен ($x_3 > 0$) и не удовлетворяет условию $x < 0$.

$x_4 = \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$. Так как $\sqrt{97} > \sqrt{49} = 7$, то этот корень отрицателен ($x_4 < 0$) и является решением.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $\frac{7 - \sqrt{97}}{2}$.