Номер 28.44, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.44, страница 165.

Условие.

28.44 После двух последовательных повышений зарплаты она возросла на 32 % по сравнению с первоначальной. Найдите первоначальный процент повышения зарплаты, если второе повышение по количеству процентов было в 2 раза большим, чем первое.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть первоначальная зарплата равна $S$, а процент первого повышения равен $x\%$. Согласно условию, второе повышение по количеству процентов было в 2 раза большим, то есть составило $2x\%$.

После первого повышения зарплата станет равной:

$S_1 = S + S \cdot \frac{x}{100} = S \cdot (1 + \frac{x}{100})$

После второго повышения новая зарплата $S_1$ увеличивается на $2x\%$. Итоговая зарплата $S_2$ составит:

$S_2 = S_1 + S_1 \cdot \frac{2x}{100} = S_1 \cdot (1 + \frac{2x}{100})$

Подставим выражение для $S_1$:

$S_2 = S \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{2x}{100})$

По условию, итоговая зарплата $S_2$ на 32% больше первоначальной $S$. Это можно записать так:

$S_2 = S + S \cdot \frac{32}{100} = S \cdot (1 + 0.32) = 1.32 \cdot S$

Теперь приравняем два полученных выражения для $S_2$:

$S \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{2x}{100}) = 1.32 \cdot S$

Так как $S \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $S$:

$(1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{2x}{100}) = 1.32$

Для упрощения решения введем замену $p = \frac{x}{100}$. Уравнение примет вид:

$(1+p)(1+2p) = 1.32$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ap^2+bp+c=0$:

$1 + 2p + p + 2p^2 = 1.32$

$2p^2 + 3p + 1 - 1.32 = 0$

$2p^2 + 3p - 0.32 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-0.32) = 9 + 2.56 = 11.56$

Найдем корни уравнения $p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$p_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{11.56}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 3.4}{4}$

Получаем два корня:

$p_1 = \frac{-3 + 3.4}{4} = \frac{0.4}{4} = 0.1$

$p_2 = \frac{-3 - 3.4}{4} = \frac{-6.4}{4} = -1.6$

Поскольку $x$ представляет собой процент повышения, это положительная величина. Следовательно, $p = \frac{x}{100}$ также должно быть положительным. Поэтому корень $p_2 = -1.6$ не является решением задачи.

Выбираем корень $p_1 = 0.1$ и делаем обратную замену, чтобы найти $x$:

$\frac{x}{100} = 0.1$

$x = 0.1 \cdot 100 = 10$

Таким образом, первоначальный процент повышения зарплаты составляет 10%.

Ответ: 10%.