Номер 29.1, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.1, страница 166.

Условие.

Решите уравнение:

29.1 а) $3x + \frac{4}{x} = 7;$

б) $\frac{2x^2 - 10}{x + 5} - 4 = 0;$

в) $x - 10 = \frac{24}{x};$

г) $\frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} = 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $3x + \frac{4}{x} = 7$

Данное уравнение является рациональным. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби:
$x \cdot (3x + \frac{4}{x}) = 7 \cdot x$
$3x^2 + 4 = 7x$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$3x^2 - 7x + 4 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
Здесь $a = 3$, $b = -7$, $c = 4$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
Оба корня ($1$ и $\frac{4}{3}$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $1; \frac{4}{3}$.

б) $\frac{2x^2 - 10}{x + 5} - 4 = 0$

ОДЗ: знаменатель $x+5 \neq 0$, следовательно, $x \neq -5$.
Перенесем 4 в правую часть уравнения:
$\frac{2x^2 - 10}{x + 5} = 4$
Умножим обе части уравнения на $(x+5)$:
$2x^2 - 10 = 4(x + 5)$
Раскроем скобки:
$2x^2 - 10 = 4x + 20$
Перенесем все в левую часть:
$2x^2 - 4x - 10 - 20 = 0$
$2x^2 - 4x - 30 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$x^2 - 2x - 15 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.
По теореме Виета: сумма корней равна 2, а произведение равно -15. Это числа 5 и -3.
Или через дискриминант: $a=1, b=-2, c=-15$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
$x_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
$x_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Оба корня ($5$ и $-3$) не равны $-5$, поэтому они подходят.
Ответ: $-3; 5$.

в) $x - 10 = \frac{24}{x}$

ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $x$:
$x(x - 10) = 24$
Раскроем скобки:
$x^2 - 10x = 24$
Перенесем 24 в левую часть:
$x^2 - 10x - 24 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна 10, произведение -24. Это числа 12 и -2.
Или через дискриминант: $a=1, b=-10, c=-24$.
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$.
$x_1 = \frac{10 + \sqrt{196}}{2} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
$x_2 = \frac{10 - \sqrt{196}}{2} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
Оба корня ($12$ и $-2$) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $-2; 12$.

г) $\frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} = 2$

Определим ОДЗ. Знаменатель $x^2 + 1$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Знаменатель никогда не равен нулю, поэтому ОДЗ: $x$ — любое действительное число.
Умножим обе части на знаменатель $x^2 + 1$:
$x^2 + 3 = 2(x^2 + 1)$
Раскроем скобки:
$x^2 + 3 = 2x^2 + 2$
Сгруппируем слагаемые с $x^2$ и свободные члены:
$3 - 2 = 2x^2 - x^2$
$1 = x^2$
Из этого уравнения получаем два корня:
$x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Ответ: $-1; 1$.