Номер 28.43, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.43, страница 165.

Условие.

28.43 Из пункта А одновременно выехали грузовой и легковой автомобили, один на север, другой на восток. Скорость легкового автомобиля на $20 \text{ км/ч}$ больше скорости грузового. Через $1,5 \text{ ч}$ расстояние между ними составило $150 \text{ км}$. Найдите скорости автомобилей.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть скорость грузового автомобиля равна $x$ км/ч. Поскольку скорость легкового автомобиля на 20 км/ч больше, то его скорость составляет $(x + 20)$ км/ч.

Автомобили выехали одновременно и двигались в течение 1,5 часов. За это время грузовой автомобиль, двигаясь на север, проехал расстояние $S_г = 1.5 \cdot x$ км. Легковой автомобиль, двигаясь на восток, проехал расстояние $S_л = 1.5 \cdot (x + 20)$ км.

Так как направления движения автомобилей (север и восток) взаимно перпендикулярны, их пути от точки А образуют катеты прямоугольного треугольника. Расстояние между автомобилями через 1,5 часа (150 км) является гипотенузой этого треугольника.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:$S_г^2 + S_л^2 = d^2$

Подставим в формулу выражения для расстояний и известное значение гипотенузы:$(1.5x)^2 + (1.5(x + 20))^2 = 150^2$

Вынесем общий множитель $1.5^2$ за скобки в левой части уравнения:$1.5^2 \cdot (x^2 + (x + 20)^2) = 150^2$

Разделим обе части уравнения на $1.5^2$:$x^2 + (x + 20)^2 = (\frac{150}{1.5})^2$$x^2 + (x + 20)^2 = 100^2$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$x^2 + x^2 + 40x + 400 = 10000$$2x^2 + 40x + 400 - 10000 = 0$$2x^2 + 40x - 9600 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2, чтобы упростить его:$x^2 + 20x - 4800 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$

Найдем корни уравнения:$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm \sqrt{19600}}{2} = \frac{-20 \pm 140}{2}$

$x_1 = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60$$x_2 = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -80$ не подходит по условию задачи. Следовательно, скорость грузового автомобиля $x = 60$ км/ч.

Найдем скорость легкового автомобиля:$x + 20 = 60 + 20 = 80$ км/ч.

Ответ: скорость грузового автомобиля — 60 км/ч, скорость легкового автомобиля — 80 км/ч.