Номер 28.39, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.39, страница 164.

Условие.

28.39 Из данных уравнений укажите те, которые имеют два различных корня при любом значении параметра p:

а) $x^2 + px = 0$;

б) $x^2 - px - 5 = 0$;

в) $x^2 + px + 5 = 0$;

г) $px^2 - 2 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы уравнение имело два различных действительных корня, его дискриминант должен быть строго больше нуля. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Условие наличия двух различных корней: $D > 0$. Проверим это условие для каждого из предложенных уравнений при любом значении параметра $p$.

а) $x^2 + px = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=p$, $c=0$.
Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = p^2$.
Условие $D > 0$ принимает вид $p^2 > 0$.
Данное неравенство выполняется для любых значений $p$, кроме $p=0$. При $p=0$ дискриминант $D=0$, и уравнение имеет один корень ($x=0$). Следовательно, данное уравнение не имеет двух различных корней при любом значении параметра $p$.

б) $x^2 - px - 5 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-p$, $c=-5$.
Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = p^2 + 20$.
Условие $D > 0$ принимает вид $p^2 + 20 > 0$.
Поскольку $p^2 \ge 0$ для любого действительного числа $p$, то $p^2 + 20 \ge 20$. А так как $20 > 0$, то неравенство $p^2 + 20 > 0$ выполняется при любом значении параметра $p$.
Следовательно, данное уравнение всегда имеет два различных корня.

в) $x^2 + px + 5 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=p$, $c=5$.
Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = p^2 - 20$.
Условие $D > 0$ принимает вид $p^2 - 20 > 0$.
Это неравенство выполняется не для всех значений $p$. Например, при $p=1$ получаем $D = 1^2 - 20 = -19 < 0$, и в этом случае уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, данное уравнение не имеет двух различных корней при любом значении параметра $p$.

г) $px^2 - 2 = 0$
Данное уравнение является квадратным только при $p \neq 0$.
1. Если $p=0$, уравнение принимает вид $-2=0$. Это неверное равенство, значит, при $p=0$ уравнение не имеет корней. Уже на этом шаге можно сделать вывод, что данное уравнение не удовлетворяет условию задачи.
2. Если $p \neq 0$, то это квадратное уравнение с коэффициентами $a=p$, $b=0$, $c=-2$.
Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot p \cdot (-2) = 8p$.
Условие $D > 0$ принимает вид $8p > 0$, что эквивалентно $p > 0$.
Это условие выполняется только для положительных значений $p$, а не для любых. Например, при $p=-1$ дискриминант $D = -8 < 0$, и уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, данное уравнение не имеет двух различных корней при любом значении параметра $p$.

Таким образом, проанализировав все уравнения, мы приходим к выводу, что только уравнение б) имеет два различных корня при любом значении параметра $p$.
Ответ: б) $x^2 - px - 5 = 0$.