Номер 28.33, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.33, страница 164.

Условие.

28.33 Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 840. Найдите эти числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть первое натуральное число будет $n$, тогда следующее за ним натуральное число будет $n+1$.

Сумма этих двух чисел равна $n + (n+1) = 2n + 1$.

Квадрат их суммы равен $(2n+1)^2$.

Сумма их квадратов равна $n^2 + (n+1)^2$.

Согласно условию задачи, квадрат суммы этих чисел на 840 больше, чем сумма их квадратов. Мы можем составить следующее уравнение:
$(2n+1)^2 = n^2 + (n+1)^2 + 840$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки в обеих частях:
$(2n)^2 + 2 \cdot 2n \cdot 1 + 1^2 = n^2 + (n^2 + 2 \cdot n \cdot 1 + 1^2) + 840$
$4n^2 + 4n + 1 = n^2 + n^2 + 2n + 1 + 840$
$4n^2 + 4n + 1 = 2n^2 + 2n + 841$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$(4n^2 - 2n^2) + (4n - 2n) + (1 - 841) = 0$
$2n^2 + 2n - 840 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 2:
$n^2 + n - 420 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 1 + 1680 = 1681$
Найдем корни уравнения:
$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1681}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 41}{2}$
$n_1 = \frac{-1 + 41}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$n_2 = \frac{-1 - 41}{2} = \frac{-42}{2} = -21$

Так как в условии говорится о натуральных числах, корень $n_2 = -21$ не подходит. Следовательно, первое число равно 20.

Второе последовательное число: $n+1 = 20+1 = 21$.

Проверка:
Квадрат суммы: $(20+21)^2 = 41^2 = 1681$.
Сумма квадратов: $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$.
Разница: $1681 - 841 = 840$.
Условие задачи выполняется.

Ответ: 20 и 21.