Номер 28.34, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.34, страница 164.

Условие.

28.34 Вкладчик положил в банк 10 000 р. под некоторый процент годовых. В конце первого года банк увеличил процент годовых на 5%. Под какой процент были положены деньги, если после двух лет хранения денег в банке вкладчик получил 11 550 рублей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $S_0$ — первоначальная сумма вклада, $S_2$ — итоговая сумма через два года, а $x$ — первоначальная процентная ставка в процентах годовых.

По условию задачи:
$S_0 = 10\,000$ рублей.
$S_2 = 11\,550$ рублей.

Процентная ставка в первый год составляет $x\%$. Для расчетов переведем ее в десятичную дробь: $r_1 = \frac{x}{100}$.
Сумма на счете в конце первого года ($S_1$) вычисляется по формуле сложных процентов:
$S_1 = S_0 \cdot (1 + r_1) = 10\,000 \cdot (1 + \frac{x}{100})$.

В конце первого года банк увеличил процентную ставку на 5%. Таким образом, процентная ставка на второй год стала $(x + 5)\%$.
В виде десятичной дроби новая ставка: $r_2 = \frac{x+5}{100}$.

Сумма на счете в конце второго года ($S_2$) рассчитывается на основе суммы $S_1$ и новой процентной ставки $r_2$:
$S_2 = S_1 \cdot (1 + r_2) = \left(10\,000 \cdot (1 + \frac{x}{100})\right) \cdot (1 + \frac{x+5}{100})$.

Подставим известное значение $S_2$ и составим уравнение:
$11\,550 = 10\,000 \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x+5}{100})$.

Разделим обе части уравнения на 10 000:
$\frac{11\,550}{10\,000} = (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x+5}{100})$
$1.155 = (\frac{100+x}{100}) \cdot (\frac{100+x+5}{100})$
$1.155 = \frac{(100+x)(105+x)}{10\,000}$.

Умножим обе части на 10 000:
$11\,550 = (100+x)(105+x)$.

Раскроем скобки в правой части уравнения:
$11\,550 = 100 \cdot 105 + 100x + 105x + x^2$
$11\,550 = 10\,500 + 205x + x^2$.

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 205x + 10\,500 - 11\,550 = 0$
$x^2 + 205x - 1050 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 205^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1050) = 42\,025 + 4200 = 46\,225$.

Найдем корень из дискриминанта:
$\sqrt{D} = \sqrt{46\,225} = 215$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-205 + 215}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$.
$x_2 = \frac{-205 - 215}{2 \cdot 1} = \frac{-420}{2} = -210$.

Так как процентная ставка не может быть отрицательной, корень $x_2 = -210$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная процентная ставка была 5%.

Проверим решение:
1. Сумма после первого года под 5%: $10\,000 \cdot (1 + 0.05) = 10\,500$ рублей.
2. Новая ставка на второй год: $5\% + 5\% = 10\%$.
3. Сумма после второго года под 10%: $10\,500 \cdot (1 + 0.10) = 10\,500 \cdot 1.1 = 11\,550$ рублей.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 5%.