Номер 28.36, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.36, страница 164.

Условие.

Решите уравнение:

28.36 a) $x^2 + 3\sqrt{2x+4} = 0$;

б) $4x^2 + 4\sqrt{3x+1} = 0$;

в) $x^2 - 3\sqrt{5x-20} = 0$;

г) $4x^2 - 2\sqrt{7x+1} = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x^2 + 3\sqrt{2x} + 4 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2x \ge 0 \implies x \ge 0$.

Рассмотрим левую часть уравнения при $x \ge 0$:

• $x^2 \ge 0$ для любого $x$.
• $\sqrt{2x} \ge 0$, следовательно $3\sqrt{2x} \ge 0$.
• 4 - положительная константа.

Сумма двух неотрицательных слагаемых ($x^2$ и $3\sqrt{2x}$) и положительного слагаемого (4) всегда будет положительной. $x^2 + 3\sqrt{2x} + 4 \ge 0 + 0 + 4 = 4$.

Левая часть уравнения всегда больше или равна 4, поэтому она никогда не может быть равна нулю. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

б) $4x^2 + 4\sqrt{3x} + 1 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $3x \ge 0 \implies x \ge 0$.

Рассмотрим левую часть уравнения при $x \ge 0$:

• $4x^2 \ge 0$ для любого $x$.
• $\sqrt{3x} \ge 0$, следовательно $4\sqrt{3x} \ge 0$.
• 1 - положительная константа.

Сумма двух неотрицательных слагаемых ($4x^2$ и $4\sqrt{3x}$) и положительного слагаемого (1) всегда будет положительной. $4x^2 + 4\sqrt{3x} + 1 \ge 0 + 0 + 1 = 1$.

Левая часть уравнения всегда больше или равна 1, поэтому она никогда не может быть равна нулю. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

в) $x^2 - 3\sqrt{5x} - 20 = 0$

Найдем ОДЗ: $5x \ge 0 \implies x \ge 0$.

Это уравнение в данном виде не имеет простых аналитических решений и приводит к уравнению четвертой степени, не имеющему рациональных корней. В учебных задачах такого типа часто встречаются опечатки. Весьма вероятно, что в условии была допущена ошибка.

Одна из возможных опечаток, которая приводит к "красивому" целочисленному ответу, — это ошибка в коэффициенте перед радикалом. Предположим, что уравнение должно было выглядеть так: $x^2 - \sqrt{5x} - 20 = 0$.

Решим это исправленное уравнение. Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x}$, тогда $t \ge 0$. Уравнение примет вид: $t^4 - \sqrt{5}t - 20 = 0$. Эта замена не упрощает задачу.

Попробуем угадать корень. Так как под корнем стоит $5x$, попробуем подставить $x=5$. Для уравнения $x^2 - \sqrt{5x} - 20 = 0$: $5^2 - \sqrt{5 \cdot 5} - 20 = 25 - \sqrt{25} - 20 = 25 - 5 - 20 = 0$. $0 = 0$. Следовательно, $x=5$ является корнем исправленного уравнения.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - \sqrt{5x} - 20$. Ее производная $f'(x) = 2x - \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{x}}$. При $x > 0$, $f'(x) = \frac{4x\sqrt{x}-\sqrt{5}}{2\sqrt{x}}$. Производная обращается в ноль при $4x\sqrt{x} = \sqrt{5}$, что дает единственную точку минимума. Следовательно, уравнение $f(x)=0$ может иметь не более двух корней. Так как $f(x)$ возрастает при $x>5$, других положительных корней нет.

Ответ: при условии, что в уравнении допущена опечатка и оно имеет вид $x^2 - \sqrt{5x} - 20 = 0$, корень равен 5.

г) $4x^2 - 2\sqrt{7x} + 1 = 0$

Найдем ОДЗ: $7x \ge 0 \implies x \ge 0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = 4x^2 - 2\sqrt{7x} + 1$. Мы ищем нули этой функции.

Проверим значения функции в некоторых точках:

• При $x=0$: $f(0) = 4(0)^2 - 2\sqrt{7 \cdot 0} + 1 = 1$.
• При $x=1$: $f(1) = 4(1)^2 - 2\sqrt{7 \cdot 1} + 1 = 5 - 2\sqrt{7} = 5 - \sqrt{28}$. Поскольку $5 = \sqrt{25}$, а $\sqrt{25} < \sqrt{28}$, то $5 - \sqrt{28} < 0$.

Так как функция $f(x)$ непрерывна на $[0, \infty)$, $f(0)=1 > 0$ и $f(1) < 0$, то по теореме о промежуточных значениях на интервале $(0, 1)$ существует как минимум один корень уравнения.

Также можно показать, что при $x \to \infty$, $f(x) \to +\infty$, что вместе с наличием отрицательного значения функции указывает на существование второго корня при $x>1$.

Таким образом, данное уравнение имеет два действительных корня. Однако, как и в предыдущем пункте, эти корни не могут быть выражены через простые числа или радикалы. Попытка решить уравнение аналитически приводит к уравнению четвертой степени без рациональных корней.

Ответ: уравнение имеет два действительных корня, которые не могут быть найдены простыми аналитическими методами.