Номер 28.38, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.38, страница 164.

Условие.

28.38 a) $\frac{x^2 - x}{3} = \frac{2x + 4}{5}$;

б) $\frac{x^2 - 3}{2} - 6x = 5$;

в) $\frac{2x^2 + x}{5} = \frac{4x - 2}{3}$;

г) $\frac{4x^2 + x}{3} - \frac{5x - 1}{6} = \frac{x^2 + 17}{9}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано уравнение: $\frac{x^2 - x}{3} = \frac{2x + 4}{5}$.

Это пропорция. Используем основное свойство пропорции, выполнив перекрестное умножение:

$5(x^2 - x) = 3(2x + 4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$5x^2 - 5x = 6x + 12$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 - 5x - 6x - 12 = 0$

$5x^2 - 11x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 121 + 240 = 361$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$

$x_1 = \frac{11 + 19}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$

$x_2 = \frac{11 - 19}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -0.8$

Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -0.8$.

б)

Дано уравнение: $\frac{x^2 - 3}{2} - 6x = 5$.

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot (\frac{x^2 - 3}{2}) - 2 \cdot 6x = 2 \cdot 5$

$x^2 - 3 - 12x = 10$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 12x - 3 - 10 = 0$

$x^2 - 12x - 13 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 144 + 52 = 196$

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$

$x_1 = \frac{-(-12) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 14}{2} = \frac{26}{2} = 13$

$x_2 = \frac{-(-12) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 14}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $x_1 = 13$, $x_2 = -1$.

в)

Дано уравнение: $\frac{2x^2 + x}{5} = \frac{4x - 2}{3}$.

Применим правило пропорции (перекрестное умножение):

$3(2x^2 + x) = 5(4x - 2)$

Раскроем скобки:

$6x^2 + 3x = 20x - 10$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$6x^2 + 3x - 20x + 10 = 0$

$6x^2 - 17x + 10 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 10 = 289 - 240 = 49$

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$

$x_1 = \frac{-(-17) + 7}{2 \cdot 6} = \frac{17 + 7}{12} = \frac{24}{12} = 2$

$x_2 = \frac{-(-17) - 7}{2 \cdot 6} = \frac{17 - 7}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = \frac{5}{6}$.

г)

Дано уравнение: $\frac{4x^2 + x}{3} - \frac{5x - 1}{6} = \frac{x^2 + 17}{9}$.

Найдем наименьший общий знаменатель для 3, 6 и 9. НОЗ(3, 6, 9) = 18.

Умножим обе части уравнения на 18, чтобы избавиться от дробей:

$18 \cdot \frac{4x^2 + x}{3} - 18 \cdot \frac{5x - 1}{6} = 18 \cdot \frac{x^2 + 17}{9}$

$6(4x^2 + x) - 3(5x - 1) = 2(x^2 + 17)$

Раскроем скобки:

$24x^2 + 6x - 15x + 3 = 2x^2 + 34$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$24x^2 - 9x + 3 = 2x^2 + 34$

Перенесем все члены в левую часть:

$24x^2 - 2x^2 - 9x + 3 - 34 = 0$

$22x^2 - 9x - 31 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 22 \cdot (-31) = 81 + 2728 = 2809$

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{2809} = 53$

$x_1 = \frac{-(-9) + 53}{2 \cdot 22} = \frac{9 + 53}{44} = \frac{62}{44} = \frac{31}{22}$

$x_2 = \frac{-(-9) - 53}{2 \cdot 22} = \frac{9 - 53}{44} = \frac{-44}{44} = -1$

Ответ: $x_1 = \frac{31}{22}$, $x_2 = -1$.