Номер 28.37, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.37, страница 164.

Условие.

28.37 a) $(2x - 1)(2x + 1) + x(x - 1) = 2x(x + 1);$

б) $(3x + 1)^2 - x(7x + 5) = 4;$

в) $(3x - 1)(3x + 1) - 2x(1 + 4x) = -2;$

г) $(2x + 1)^2 + 2 = 2 - 6x^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и распределительный закон.
$(2x - 1)(2x + 1) + x(x - 1) = 2x(x + 1)$
$((2x)^2 - 1^2) + (x \cdot x - x \cdot 1) = 2x \cdot x + 2x \cdot 1$
$(4x^2 - 1) + (x^2 - x) = 2x^2 + 2x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$5x^2 - x - 1 = 2x^2 + 2x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$5x^2 - 2x^2 - x - 2x - 1 = 0$
$3x^2 - 3x - 1 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 9 + 12 = 21$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 3} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}$
Ответ: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{21}}{6}, x_2 = \frac{3 - \sqrt{21}}{6}$.

б) Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и распределительный закон.
$(3x + 1)^2 - x(7x + 5) = 4$
$((3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2) - (x \cdot 7x + x \cdot 5) = 4$
$(9x^2 + 6x + 1) - (7x^2 + 5x) = 4$
$9x^2 + 6x + 1 - 7x^2 - 5x = 4$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(9x^2 - 7x^2) + (6x - 5x) + 1 = 4$
$2x^2 + x + 1 = 4$
Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 + x + 1 - 4 = 0$
$2x^2 + x - 3 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-1 \pm 5}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4}$
$x_1 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$x_2 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5$
Ответ: $1; -1.5$.

в) Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов и распределительный закон.
$(3x - 1)(3x + 1) - 2x(1 + 4x) = -2$
$((3x)^2 - 1^2) - (2x \cdot 1 + 2x \cdot 4x) = -2$
$(9x^2 - 1) - (2x + 8x^2) = -2$
$9x^2 - 1 - 2x - 8x^2 = -2$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(9x^2 - 8x^2) - 2x - 1 = -2$
$x^2 - 2x - 1 = -2$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 2x - 1 + 2 = 0$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
Левая часть является полным квадратом разности: $(x-1)^2 = 0$.
Отсюда следует, что $x - 1 = 0$.
$x = 1$
Ответ: $1$.

г) Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы.
$(2x + 1)^2 + 2 = 2 - 6x^2$
$((2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2) + 2 = 2 - 6x^2$
$(4x^2 + 4x + 1) + 2 = 2 - 6x^2$
$4x^2 + 4x + 3 = 2 - 6x^2$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$4x^2 + 6x^2 + 4x + 3 - 2 = 0$
$10x^2 + 4x + 1 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 10 \cdot 1 = 16 - 40 = -24$
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.