Номер 28.32, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.32, страница 164.

Условие.

28.32 Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на 307. Найдите эти числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть первое из двух последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда второе число равно $n+1$. По определению, натуральные числа — это целые положительные числа, то есть $n \in \mathbb{N}$.

Сумма квадратов этих чисел выражается формулой $n^2 + (n+1)^2$.

Их произведение равно $n(n+1)$.

По условию задачи, сумма квадратов больше их произведения на 307. Это можно записать в виде уравнения: $n^2 + (n+1)^2 = n(n+1) + 307$

Решим это уравнение. Сначала раскроем скобки: $n^2 + (n^2 + 2n + 1) = n^2 + n + 307$

Упростим выражение, приведя подобные слагаемые: $2n^2 + 2n + 1 = n^2 + n + 307$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$: $(2n^2 - n^2) + (2n - n) + (1 - 307) = 0$ $n^2 + n - 306 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу корней через дискриминант. Для уравнения $an^2+bn+c=0$ дискриминант $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=1$, $c=-306$. $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-306) = 1 + 1224 = 1225$

Теперь найдем корни уравнения $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$ $n_1 = \frac{-1 + 35}{2} = \frac{34}{2} = 17$ $n_2 = \frac{-1 - 35}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

Поскольку мы ищем натуральные числа, корень $n_2 = -18$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, единственное подходящее значение для первого числа — это $n = 17$.

Если первое число равно 17, то второе последовательное число равно $n+1 = 17+1 = 18$.

Проверим, удовлетворяют ли числа 17 и 18 условию задачи:

• Сумма их квадратов: $17^2 + 18^2 = 289 + 324 = 613$.
• Их произведение: $17 \cdot 18 = 306$.
• Разность между суммой квадратов и произведением: $613 - 306 = 307$.

Условие выполнено.

Ответ: 17 и 18.