Номер 28.28, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.28, страница 163.

Условие.

28.28 Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 1201. Чему равна разность квадратов этих чисел?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть два последовательных натуральных числа — это $n$ и $n+1$.

По условию задачи, сумма их квадратов равна 1201. Составим и решим уравнение:

$n^2 + (n+1)^2 = 1201$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 1201$

Приведем подобные слагаемые:

$2n^2 + 2n + 1 = 1201$

$2n^2 + 2n - 1200 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$n^2 + n - 600 = 0$

Мы получили приведенное квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 1 + 2400 = 2401$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{2401} = 49$.

Теперь найдем корни уравнения $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-1 + 49}{2} = \frac{48}{2} = 24$

$n_2 = \frac{-1 - 49}{2} = \frac{-50}{2} = -25$

Поскольку в задаче речь идет о натуральных числах, корень $n_2 = -25$ не является решением. Таким образом, первое число $n=24$, а следующее за ним число $n+1=25$.

Проверим: $24^2 + 25^2 = 576 + 625 = 1201$. Условие выполняется.

Теперь найдем разность квадратов этих чисел, то есть $(n+1)^2 - n^2$:

$25^2 - 24^2 = 625 - 576 = 49$

Можно также воспользоваться формулой разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$25^2 - 24^2 = (25-24)(25+24) = 1 \cdot 49 = 49$

Ответ: 49