Номер 28.21, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.21, страница 163.

Условие.

28.21 Докажите, что при любом значении параметра $p$ уравнение $3x^2 - px - 2 = 0$ имеет два корня.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы доказать, что уравнение $3x^2 - px - 2 = 0$ имеет два корня при любом значении параметра $p$, необходимо показать, что его дискриминант ($D$) всегда строго положителен ($D > 0$).

Данное уравнение является квадратным уравнением общего вида $ax^2 + bx + c = 0$. Определим его коэффициенты:
$a = 3$
$b = -p$
$c = -2$

Теперь вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-p)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)$
$D = p^2 + 24$

Проанализируем знак полученного выражения для дискриминанта $D = p^2 + 24$.
Выражение $p^2$, как квадрат любого действительного числа, всегда неотрицательно, то есть $p^2 \ge 0$ для любого значения $p$.
Следовательно, сумма $p^2 + 24$ всегда будет строго положительной, так как к неотрицательному числу ($p^2$) прибавляется положительное число (24). Минимальное значение, которое может принять дискриминант, достигается при $p = 0$ и равно $D_{min} = 0^2 + 24 = 24$.
Поскольку $D \ge 24$, очевидно, что $D > 0$ при любом значении параметра $p$.

Так как дискриминант уравнения всегда положителен, уравнение $3x^2 - px - 2 = 0$ всегда имеет два различных действительных корня, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано, так как дискриминант уравнения $D=p^2+24$ всегда положителен.