Номер 28.19, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.19, страница 162.

Условие.

28.19 a) $(x - 2)^2 = 3x - 8;$

б) $(3x - 1) (x + 3) + 1 = x(1 + 6x);$

в) $5(x + 2)^2 = -6x + 44;$

г) $(x + 4) (2x - 1) = x(3x + 11).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)
Исходное уравнение: $(x - 2)^2 = 3x - 8$.
Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = 3x - 8$
$x^2 - 4x + 4 = 3x - 8$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 4x + 4 - 3x + 8 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 7x + 12 = 0$
Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 4$.

б)
Исходное уравнение: $(3x - 1)(x + 3) + 1 = x(1 + 6x)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$(3x^2 + 9x - x - 3) + 1 = x + 6x^2$
Приведем подобные слагаемые:
$3x^2 + 8x - 2 = x + 6x^2$
Перенесем все члены в правую часть и приравняем к нулю:
$0 = 6x^2 + x - (3x^2 + 8x - 2)$
$0 = 6x^2 + x - 3x^2 - 8x + 2$
$3x^2 - 7x + 2 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = 5$. Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-7) - 5}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-(-7) + 5}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$
Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = 2$.

в)
Исходное уравнение: $5(x + 2)^2 = -6x + 44$.
Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$5(x^2 + 4x + 4) = -6x + 44$
$5x^2 + 20x + 20 = -6x + 44$
Перенесем все члены в левую часть:
$5x^2 + 20x + 20 + 6x - 44 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$5x^2 + 26x - 24 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = 26^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-24) = 676 + 480 = 1156$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$. Найдем корни:
$x_1 = \frac{-26 - 34}{2 \cdot 5} = \frac{-60}{10} = -6$
$x_2 = \frac{-26 + 34}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
Ответ: $x_1 = -6, x_2 = \frac{4}{5}$.

г)
Исходное уравнение: $(x + 4)(2x - 1) = x(3x + 11)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$2x^2 - x + 8x - 4 = 3x^2 + 11x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$2x^2 + 7x - 4 = 3x^2 + 11x$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = 3x^2 + 11x - (2x^2 + 7x - 4)$
$0 = 3x^2 + 11x - 2x^2 - 7x + 4$
$x^2 + 4x + 4 = 0$
Левая часть является полным квадратом $(x+2)^2$:
$(x + 2)^2 = 0$
Это уравнение имеет один корень (кратности 2):
$x + 2 = 0$
$x = -2$
Ответ: $x = -2$.