Страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

28.8 a) $4x^2 + 10x - 6 = 0;$

б) $25x^2 + 10x + 1 = 0;$

в) $3x^2 - 8x + 5 = 0;$

г) $4x^2 + x + 67 = 0.$

а)

Решим квадратное уравнение $4x^2 + 10x - 6 = 0$.

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 2:

$2x^2 + 5x - 3 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a = 2, b = 5, c = -3$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

$x_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$

Ответ: $-3; 0.5$.

б)

Решим уравнение $25x^2 + 10x + 1 = 0$.

Левая часть этого уравнения является формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a=5x$ и $b=1$, так как $(5x)^2 = 25x^2$, $1^2 = 1$, и $2 \cdot 5x \cdot 1 = 10x$.

Следовательно, уравнение можно переписать в виде:

$(5x + 1)^2 = 0$

Это равенство выполняется только тогда, когда выражение в скобках равно нулю:

$5x + 1 = 0$

$5x = -1$

$x = -\frac{1}{5} = -0.2$

Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).

Ответ: $-0.2$.

в)

Решим квадратное уравнение $3x^2 - 8x + 5 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a = 3, b = -8, c = 5$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-8) + 2}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

$x_2 = \frac{-(-8) - 2}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Ответ: $1; \frac{5}{3}$.

г)

Решим квадратное уравнение $4x^2 + x + 67 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a = 4, b = 1, c = 67$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 67 = 1 - 16 \cdot 67 = 1 - 1072 = -1071$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

28.9 a) $3x^2 + 32x + 80 = 0;$

б) $100x^2 - 160x + 63 = 0;$

в) $5x^2 + 26x - 24 = 0;$

г) $4x^2 - 12x + 9 = 0.$

а) $3x^2 + 32x + 80 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения воспользуемся формулой корней через дискриминант. Уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=3$, $b=32$, $c=80$.

1. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 32^2 - 4 \cdot 3 \cdot 80 = 1024 - 960 = 64$

2. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-32 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-32 + 8}{6} = \frac{-24}{6} = -4$

$x_2 = \frac{-32 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-32 - 8}{6} = \frac{-40}{6} = -\frac{20}{3}$

Ответ: $x_1 = -4, x_2 = -\frac{20}{3}$.

б) $100x^2 - 160x + 63 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=100$, $b=-160$, $c=63$.

1. Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-160)^2 - 4 \cdot 100 \cdot 63 = 25600 - 25200 = 400$

2. Так как $D > 0$, находим два корня:

$x_1 = \frac{-(-160) + \sqrt{400}}{2 \cdot 100} = \frac{160 + 20}{200} = \frac{180}{200} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10} = 0,9$

$x_2 = \frac{-(-160) - \sqrt{400}}{2 \cdot 100} = \frac{160 - 20}{200} = \frac{140}{200} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10} = 0,7$

Ответ: $x_1 = 0,7; x_2 = 0,9$.

в) $5x^2 + 26x - 24 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=5$, $b=26$, $c=-24$.

1. Вычислим дискриминант $D$:

$D = 26^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-24) = 676 + 480 = 1156$

2. Так как $D > 0$, находим два корня. $\sqrt{1156} = 34$.

$x_1 = \frac{-26 + \sqrt{1156}}{2 \cdot 5} = \frac{-26 + 34}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0,8$

$x_2 = \frac{-26 - \sqrt{1156}}{2 \cdot 5} = \frac{-26 - 34}{10} = \frac{-60}{10} = -6$

Ответ: $x_1 = -6, x_2 = 0,8$.

г) $4x^2 - 12x + 9 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=4$, $b=-12$, $c=9$.

1. Можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x - 3)^2$

2. Уравнение принимает вид:

$(2x - 3)^2 = 0$

Отсюда следует:

$2x - 3 = 0$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2} = 1,5$

Уравнение имеет один действительный корень кратности 2.

Альтернативный способ — через дискриминант:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$

Так как $D=0$, уравнение имеет один корень, который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:

$x = \frac{-(-12)}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: $x = 1,5$.

28.10 а) $-x^2 - 5x + 14 = 0;$

б) $-3x^2 - 2x + 5 = 0;$

в) $-x^2 + 26x - 25 = 0;$

г) $-5x^2 - 9x + 2 = 0.$

а)

Дано квадратное уравнение $-x^2 - 5x + 14 = 0$.

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$x^2 + 5x - 14 = 0$.

Это стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 1$, $b = 5$, $c = -14$.

Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

Подставим значения коэффициентов:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

Ответ: $-7; 2$.

б)

Дано квадратное уравнение $-3x^2 - 2x + 5 = 0$.

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$3x^2 + 2x - 5 = 0$.

Коэффициенты данного уравнения: $a = 3$, $b = 2$, $c = -5$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Вычислим корни:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 8}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$.

Ответ: $-\frac{5}{3}; 1$.

в)

Дано квадратное уравнение $-x^2 + 26x - 25 = 0$.

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$x^2 - 26x + 25 = 0$.

Коэффициенты данного уравнения: $a = 1$, $b = -26$, $c = 25$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 676 - 100 = 576$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Вычислим корни:

$x_1 = \frac{-(-26) + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{26 + 24}{2} = \frac{50}{2} = 25$.

$x_2 = \frac{-(-26) - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{26 - 24}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: $1; 25$.

г)

Дано квадратное уравнение $-5x^2 - 9x + 2 = 0$.

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$5x^2 + 9x - 2 = 0$.

Коэффициенты данного уравнения: $a = 5$, $b = 9$, $c = -2$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Вычислим корни:

$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 + 11}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 - 11}{10} = \frac{-20}{10} = -2$.

Ответ: $-2; \frac{1}{5}$.

28.11 a) $x^2 = 2x + 48;$

б) $6x^2 + 7x = 5;$

в) $x^2 = 4x + 96;$

г) $2x^2 - 2 = 3x.$

а) $x^2 = 2x + 48$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 2x - 48 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-2$, $c=-48$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-(-2) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Ответ: -6; 8.

б) $6x^2 + 7x = 5$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$6x^2 + 7x - 5 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=6$, $b=7$, $c=-5$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 49 + 120 = 169$

Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-7 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-7 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{-20}{12} = -\frac{5}{3}$

Ответ: $-\frac{5}{3}$; $\frac{1}{2}$.

в) $x^2 = 4x + 96$

Перепишем уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 4x - 96 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, где $a=1$, $b=-4$, $c=-96$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) + 20}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-(-4) - 20}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Ответ: -8; 12.

г) $2x^2 - 2 = 3x$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=-3$, $c=-2$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Дискриминант положителен, уравнение имеет два корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + 5}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-(-3) - 5}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$; 2.

28.12 a) $-x^2 = 5x - 36;$

б) $-3x^2 + 8 = 2x;$

в) $25 = -26x - x^2;$

г) $-5x^2 = 9x - 80.$

а) $-x^2 = 5x - 36$

Для решения квадратного уравнения приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$x^2 + 5x - 36 = 0$

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 5$, $c = -36$.

Теперь вычислим дискриминант ($D$) по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$

Поскольку дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -9$.

б) $-3x^2 + 8 = 2x$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в одну сторону:

$3x^2 + 2x - 8 = 0$

Коэффициенты этого уравнения: $a = 3$, $b = 2$, $c = -8$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 10}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

Ответ: $x_1 = \frac{4}{3}, x_2 = -2$.

в) $25 = -26x - x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть:

$x^2 + 26x + 25 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = 26$, $c = 25$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 26^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 676 - 100 = 576$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-26 + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-26 + 24}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-26 - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-26 - 24}{2} = \frac{-50}{2} = -25$

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = -25$.

г) $-5x^2 = 9x - 80$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в одну сторону:

$5x^2 + 9x - 80 = 0$

Коэффициенты данного уравнения: $a = 5$, $b = 9$, $c = -80$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-80) = 81 + 1600 = 1681$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{1681}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 + 41}{10} = \frac{32}{10} = 3.2$

$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{1681}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 - 41}{10} = \frac{-50}{10} = -5$

Ответ: $x_1 = 3.2, x_2 = -5$.

28.13 a) $x^2 + 7x + 2 = 0;$

б) $2x^2 + 3x - 1 = 0;$

в) $x^2 - 5x + 3 = 0;$

г) $5x^2 - x - 1 = 0.$

а) $x^2 + 7x + 2 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ воспользуемся формулой корней через дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = 7$, $c = 2$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 49 - 8 = 41$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm \sqrt{41}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{-7 + \sqrt{41}}{2}, x_2 = \frac{-7 - \sqrt{41}}{2}$.

б) $2x^2 + 3x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9 + 8 = 17$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$.

Ответ: $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}, x_2 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{4}$.

в) $x^2 - 5x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a = 1$, $b = -5$, $c = 3$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 - 12 = 13$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{5 + \sqrt{13}}{2}, x_2 = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}$.

г) $5x^2 - x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a = 5$, $b = -1$, $c = -1$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 1 + 20 = 21$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 5} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{10}$.

Ответ: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{21}}{10}, x_2 = \frac{1 - \sqrt{21}}{10}$.

28.14 a) $x^2 + 2x - 7 = 0;$

б) $2x^2 - 4x - 1 = 0;$

в) $x^2 + 6x + 3 = 0;$

г) $5x^2 - 10x + 1 = 0.$

а) Дано квадратное уравнение $x^2 + 2x - 7 = 0$. Для его решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = 2$, $c = -7$. Так как второй коэффициент $b=2$ является четным числом, удобно использовать формулу для четного второго коэффициента, где $k = \frac{b}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$. $D_1 = 1^2 - 1 \cdot (-7) = 1 + 7 = 8$. Поскольку $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$. $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{8}}{1} = -1 \pm \sqrt{4 \cdot 2} = -1 \pm 2\sqrt{2}$.
Ответ: $x_1 = -1 - 2\sqrt{2}, x_2 = -1 + 2\sqrt{2}$.

б) Дано квадратное уравнение $2x^2 - 4x - 1 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = -4$, $c = -1$. Второй коэффициент $b = -4$ — четное число, поэтому используем формулу с $k = \frac{b}{2} = \frac{-4}{2} = -2$. Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$. $D_1 = (-2)^2 - 2 \cdot (-1) = 4 + 2 = 6$. Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$. $x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{6}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}$.
Ответ: $x_1 = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}, x_2 = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$.

в) Дано квадратное уравнение $x^2 + 6x + 3 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = 6$, $c = 3$. Второй коэффициент $b=6$ — четное число, поэтому используем формулу с $k = \frac{b}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$. $D_1 = 3^2 - 1 \cdot 3 = 9 - 3 = 6$. Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$. $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{6}}{1} = -3 \pm \sqrt{6}$.
Ответ: $x_1 = -3 - \sqrt{6}, x_2 = -3 + \sqrt{6}$.

г) Дано квадратное уравнение $5x^2 - 10x + 1 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a = 5$, $b = -10$, $c = 1$. Второй коэффициент $b = -10$ — четное число, поэтому используем формулу с $k = \frac{b}{2} = \frac{-10}{2} = -5$. Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$. $D_1 = (-5)^2 - 5 \cdot 1 = 25 - 5 = 20$. Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$. $x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{20}}{5} = \frac{5 \pm \sqrt{4 \cdot 5}}{5} = \frac{5 \pm 2\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $x_1 = \frac{5 - 2\sqrt{5}}{5}, x_2 = \frac{5 + 2\sqrt{5}}{5}$.

28.15 a) $2x^2 + 10x + 12 = 0$;

б) $-3x^2 + 18x - 24 = 0$;

в) $6x^2 - 18x - 60 = 0$;

г) $-4x^2 - 16x + 84 = 0$.

а) $2x^2 + 10x + 12 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Для удобства решения разделим все члены уравнения на 2, так как все коэффициенты четные.

$\frac{2x^2}{2} + \frac{10x}{2} + \frac{12}{2} = \frac{0}{2}$

$x^2 + 5x + 6 = 0$

Теперь мы имеем приведенное квадратное уравнение. Решим его через дискриминант. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$.

Вычисляем дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: -3; -2.

б) $-3x^2 + 18x - 24 = 0$

Для упрощения данного квадратного уравнения разделим все его члены на -3.

$\frac{-3x^2}{-3} + \frac{18x}{-3} - \frac{24}{-3} = \frac{0}{-3}$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим полученное приведенное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -6$, $c = 8$.

Вычисляем дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: 2; 4.

в) $6x^2 - 18x - 60 = 0$

Упростим уравнение, разделив все его члены на 6.

$\frac{6x^2}{6} - \frac{18x}{6} - \frac{60}{6} = \frac{0}{6}$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим полученное приведенное квадратное уравнение через дискриминант. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -3$, $c = -10$.

Вычисляем дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: -2; 5.

г) $-4x^2 - 16x + 84 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на -4.

$\frac{-4x^2}{-4} - \frac{16x}{-4} + \frac{84}{-4} = \frac{0}{-4}$

$x^2 + 4x - 21 = 0$

Решим полученное приведенное квадратное уравнение через дискриминант. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = 4$, $c = -21$.

Вычисляем дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Ответ: -7; 3.

28.16 a) $0.6x^2 + 0.8x - 7.8 = 0;$

б) $\frac{1}{4}x^2 - x + 1 = 0;$

в) $\frac{4}{5}x^2 - \frac{7}{5}x - \frac{3}{2} = 0;$

г) $0.2x^2 - 10x + 125 = 0.$

а) $0,6x² + 0,8x - 7,8 = 0$

Для удобства вычислений умножим все члены уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$10 \cdot (0,6x² + 0,8x - 7,8) = 10 \cdot 0$

$6x² + 8x - 78 = 0$

Все коэффициенты являются четными числами, поэтому разделим уравнение на 2 для упрощения:

$3x² + 4x - 39 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы корней через дискриминант: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

В данном уравнении коэффициенты: $a = 3$, $b = 4$, $c = -39$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-39) = 16 + 468 = 484$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 22}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 22}{2 \cdot 3} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3}$

Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -\frac{13}{3}$.

б) $\frac{1}{4}x² - x + 1 = 0$

Умножим все члены уравнения на 4, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$4 \cdot (\frac{1}{4}x² - x + 1) = 4 \cdot 0$

$x² - 4x + 4 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае это $(x-2)^2$.

$(x-2)^2 = 0$

Из этого следует, что $x-2 = 0$, и, соответственно, $x = 2$.

Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня). Это можно проверить и через дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$. При $D=0$ корень один.

Ответ: $x = 2$.

в) $\frac{4}{5}x² - \frac{7}{5}x - \frac{3}{2} = 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (5 и 2), то есть на 10:

$10 \cdot (\frac{4}{5}x² - \frac{7}{5}x - \frac{3}{2}) = 10 \cdot 0$

$8x² - 14x - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 8$, $b = -14$, $c = -15$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-15) = 196 + 480 = 676$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-14) + 26}{2 \cdot 8} = \frac{14 + 26}{16} = \frac{40}{16} = \frac{5}{2} = 2,5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-14) - 26}{2 \cdot 8} = \frac{14 - 26}{16} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4} = -0,75$

Ответ: $x_1 = 2,5$, $x_2 = -0,75$.

г) $0,2x² - 10x + 125 = 0$

Умножим все члены уравнения на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби (поскольку $0,2 = \frac{1}{5}$):

$5 \cdot (0,2x² - 10x + 125) = 5 \cdot 0$

$x² - 50x + 625 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом разности $(x-25)^2$, так как $25^2 = 625$ и $2 \cdot x \cdot 25 = 50x$.

$(x-25)^2 = 0$

Отсюда следует, что $x-25 = 0$, и, соответственно, $x = 25$.

Уравнение имеет один корень. Проверим через дискриминант: $D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 625 = 2500 - 2500 = 0$. Так как $D=0$, корень один.

Ответ: $x = 25$.

28.17 a) $\frac{1}{3}x^2 + x + \frac{1}{4} = 0;$

б) $x^2 + 5x + 2\frac{1}{4} = 0;$

в) $x^2 + 3x - 1\frac{1}{2} = 0;$

г) $x^2 - \frac{5}{12}x - \frac{1}{6} = 0.$

а) Чтобы решить квадратное уравнение $\frac{1}{3}x^2 + x + \frac{1}{4} = 0$, избавимся от дробных коэффициентов. Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12:
$12 \cdot (\frac{1}{3}x^2 + x + \frac{1}{4}) = 12 \cdot 0$
$4x^2 + 12x + 3 = 0$
Теперь решим полученное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$ с помощью формулы корней через дискриминант. Здесь коэффициенты $a=4$, $b=12$, $c=3$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 144 - 48 = 96$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-12 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 4} = \frac{-12 \pm \sqrt{16 \cdot 6}}{8} = \frac{-12 \pm 4\sqrt{6}}{8}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{6}}{2}$.
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{6}}{2}$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{6}}{2}$.
Ответ: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{6}}{2}, x_2 = \frac{-3 + \sqrt{6}}{2}$.

б) Рассмотрим уравнение $x^2 + 5x + 2\frac{1}{4} = 0$.
Сначала представим смешанное число $2\frac{1}{4}$ в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.
Уравнение принимает вид: $x^2 + 5x + \frac{9}{4} = 0$.
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
$4(x^2 + 5x + \frac{9}{4}) = 4 \cdot 0$
$4x^2 + 20x + 9 = 0$.
Коэффициенты: $a=4$, $b=20$, $c=9$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 400 - 144 = 256$.
$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-20 \pm 16}{2 \cdot 4} = \frac{-20 \pm 16}{8}$.
$x_1 = \frac{-20 + 16}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-20 - 16}{8} = \frac{-36}{8} = -\frac{9}{2}$.
Ответ: $x_1 = -\frac{9}{2}, x_2 = -\frac{1}{2}$.

в) Решим уравнение $x^2 + 3x - 1\frac{1}{2} = 0$.
Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
Уравнение принимает вид: $x^2 + 3x - \frac{3}{2} = 0$.
Умножим обе части уравнения на 2:
$2(x^2 + 3x - \frac{3}{2}) = 2 \cdot 0$
$2x^2 + 6x - 3 = 0$.
Коэффициенты: $a=2$, $b=6$, $c=-3$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 36 + 24 = 60$.
$\sqrt{D} = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{2 \cdot 2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{4}$.
Сократим дробь на 2:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{15}}{2}$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{15}}{2}$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{15}}{2}$.
Ответ: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{15}}{2}, x_2 = \frac{-3 + \sqrt{15}}{2}$.

г) Решим уравнение $x^2 - \frac{5}{12}x - \frac{1}{6} = 0$.
Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 12 и 6, то есть на 12:
$12(x^2 - \frac{5}{12}x - \frac{1}{6}) = 12 \cdot 0$
$12x^2 - 5x - 2 = 0$.
Коэффициенты: $a=12$, $b=-5$, $c=-2$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-2) = 25 + 96 = 121$.
$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-(-5) \pm 11}{2 \cdot 12} = \frac{5 \pm 11}{24}$.
$x_1 = \frac{5 + 11}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.
$x_2 = \frac{5 - 11}{24} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $x_1 = -\frac{1}{4}, x_2 = \frac{2}{3}$.

28.18 a) $6x(2x + 1) = 5x + 1;$

б) $2x(x - 8) = -x - 18;$

в) $8x(1 + 2x) = -1;$

г) $x(x - 5) = 1 - 4x.$

а) $6x(2x + 1) = 5x + 1$
Первым шагом раскроем скобки в левой части уравнения, умножив $6x$ на каждый член в скобках:
$6x \cdot 2x + 6x \cdot 1 = 5x + 1$
$12x^2 + 6x = 5x + 1$
Далее, перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$12x^2 + 6x - 5x - 1 = 0$
$12x^2 + x - 1 = 0$
Теперь решим это уравнение. Для этого найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где коэффициенты $a=12$, $b=1$, $c=-1$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49$
Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{-1 + 7}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{-1 - 7}{24} = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{4}$.

б) $2x(x - 8) = -x - 18$
Раскроем скобки в левой части:
$2x^2 - 16x = -x - 18$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы привести уравнение к стандартному виду:
$2x^2 - 16x + x + 18 = 0$
$2x^2 - 15x + 18 = 0$
Теперь решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант, где $a=2$, $b=-15$, $c=18$:
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 225 - 144 = 81$
Дискриминант положительный, значит, есть два корня. Найдем их:
$x_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{15 + 9}{4} = \frac{24}{4} = 6$
$x_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{15 - 9}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ или $1.5$
Ответ: $1.5; 6$.

в) $8x(1 + 2x) = -1$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$8x + 16x^2 = -1$
Перенесем все в левую часть и запишем уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:
$16x^2 + 8x + 1 = 0$
Можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата суммы: $(4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = (4x + 1)^2$.
Таким образом, уравнение можно переписать как:
$(4x + 1)^2 = 0$
Это уравнение имеет единственное решение:
$4x + 1 = 0$
$4x = -1$
$x = -\frac{1}{4}$
В качестве альтернативы, можно было вычислить дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0$. Если $D=0$, уравнение имеет один корень, который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-8}{2 \cdot 16} = -\frac{8}{32} = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$.

г) $x(x - 5) = 1 - 4x$
Раскроем скобки:
$x^2 - 5x = 1 - 4x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$x^2 - 5x + 4x - 1 = 0$
$x^2 - x - 1 = 0$
Это квадратное уравнение, решим его с помощью дискриминанта. Здесь $a=1$, $b=-1$, $c=-1$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Поскольку $\sqrt{5}$ является иррациональным числом, запишем корни в иррациональном виде:
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$
Ответ: $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

28.19 a) $(x - 2)^2 = 3x - 8;$

б) $(3x - 1) (x + 3) + 1 = x(1 + 6x);$

в) $5(x + 2)^2 = -6x + 44;$

г) $(x + 4) (2x - 1) = x(3x + 11).$

а)
Исходное уравнение: $(x - 2)^2 = 3x - 8$.
Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = 3x - 8$
$x^2 - 4x + 4 = 3x - 8$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 4x + 4 - 3x + 8 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 7x + 12 = 0$
Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 4$.

б)
Исходное уравнение: $(3x - 1)(x + 3) + 1 = x(1 + 6x)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$(3x^2 + 9x - x - 3) + 1 = x + 6x^2$
Приведем подобные слагаемые:
$3x^2 + 8x - 2 = x + 6x^2$
Перенесем все члены в правую часть и приравняем к нулю:
$0 = 6x^2 + x - (3x^2 + 8x - 2)$
$0 = 6x^2 + x - 3x^2 - 8x + 2$
$3x^2 - 7x + 2 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = 5$. Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-7) - 5}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-(-7) + 5}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$
Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = 2$.

в)
Исходное уравнение: $5(x + 2)^2 = -6x + 44$.
Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$5(x^2 + 4x + 4) = -6x + 44$
$5x^2 + 20x + 20 = -6x + 44$
Перенесем все члены в левую часть:
$5x^2 + 20x + 20 + 6x - 44 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$5x^2 + 26x - 24 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = 26^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-24) = 676 + 480 = 1156$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$. Найдем корни:
$x_1 = \frac{-26 - 34}{2 \cdot 5} = \frac{-60}{10} = -6$
$x_2 = \frac{-26 + 34}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
Ответ: $x_1 = -6, x_2 = \frac{4}{5}$.

г)
Исходное уравнение: $(x + 4)(2x - 1) = x(3x + 11)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$2x^2 - x + 8x - 4 = 3x^2 + 11x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$2x^2 + 7x - 4 = 3x^2 + 11x$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = 3x^2 + 11x - (2x^2 + 7x - 4)$
$0 = 3x^2 + 11x - 2x^2 - 7x + 4$
$x^2 + 4x + 4 = 0$
Левая часть является полным квадратом $(x+2)^2$:
$(x + 2)^2 = 0$
Это уравнение имеет один корень (кратности 2):
$x + 2 = 0$
$x = -2$
Ответ: $x = -2$.