Страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Найдите дискриминант квадратного уравнения:

28.1 а) $x^2 + 5x - 6 = 0;$

б) $x^2 - 1,3x + 2 = 0;$

в) $x^2 - 7x - 4 = 0;$

г) $x^2 - 2,4x + 1 = 0.$

Для нахождения дискриминанта квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ используется формула:

$D = b^2 - 4ac$

Применим эту формулу для каждого из данных уравнений.

а) $x^2 + 5x - 6 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = 5$, $c = -6$.

Вычисляем дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 - (-24) = 25 + 24 = 49$.

Ответ: $49$

б) $x^2 - 1,3x + 2 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = -1,3$, $c = 2$.

Вычисляем дискриминант:

$D = (-1,3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1,69 - 8 = -6,31$.

Ответ: $-6,31$

в) $x^2 - 7x - 4 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = -7$, $c = -4$.

Вычисляем дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 49 - (-16) = 49 + 16 = 65$.

Ответ: $65$

г) $x^2 - 2,4x + 1 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = -2,4$, $c = 1$.

Вычисляем дискриминант:

$D = (-2,4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5,76 - 4 = 1,76$.

Ответ: $1,76$

28.2 a) $3x^2 + 2x - 1 = 0;$

б) $-x^2 + 4x + 3 = 0;$

в) $4x^2 - 5x - 4 = 0;$

г) $-2x^2 + 5x + 3 = 0.$

а) Для решения квадратного уравнения $3x^2 + 2x - 1 = 0$ воспользуемся общей формулой для нахождения корней. Уравнение имеет вид $ax^2+bx+c=0$.
В данном случае коэффициенты равны: $a=3$, $b=2$, $c=-1$.
Сначала вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.
Теперь найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.
Ответ: $-1; \frac{1}{3}$.

б) Рассмотрим уравнение $-x^2 + 4x + 3 = 0$.
Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:
$x^2 - 4x - 3 = 0$.
Коэффициенты этого уравнения: $a=1$, $b=-4$, $c=-3$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 + 12 = 28$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.
Найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) \pm 2\sqrt{7}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2}$.
Разделив числитель на 2, получаем: $x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{7}$.
Ответ: $2 - \sqrt{7}; 2 + \sqrt{7}$.

в) Решим уравнение $4x^2 - 5x - 4 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=4$, $b=-5$, $c=-4$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 25 + 64 = 89$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Число 89 является простым, поэтому $\sqrt{89}$ не упрощается.
Найдем корни уравнения по формуле:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{89}}{2 \cdot 4} = \frac{5 \pm \sqrt{89}}{8}$.
Ответ: $\frac{5 - \sqrt{89}}{8}; \frac{5 + \sqrt{89}}{8}$.

г) Рассмотрим уравнение $-2x^2 + 5x + 3 = 0$.
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы старший коэффициент был положительным:
$2x^2 - 5x - 3 = 0$.
Коэффициенты: $a=2$, $b=-5$, $c=-3$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}; 3$.

Определите число корней квадратного уравнения:

28.3 a) $x^2 - 8x - 84 = 0;$

б) $36x^2 - 12x + 1 = 0;$

в) $x^2 - 22x - 23 = 0;$

г) $16x^2 - 8x + 1 = 0.$

Для определения числа корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ необходимо найти значение дискриминанта $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$. Число действительных корней зависит от знака дискриминанта:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

а) Дано уравнение $x^2 - 8x - 84 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения: $a = 1$, $b = -8$, $c = -84$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 64 + 336 = 400$.

Поскольку $D = 400 > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Ответ: 2 корня.

б) Дано уравнение $36x^2 - 12x + 1 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения: $a = 36$, $b = -12$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 1 = 144 - 144 = 0$.

Поскольку $D = 0$, уравнение имеет один корень. (Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $(6x-1)^2=0$).

Ответ: 1 корень.

в) Дано уравнение $x^2 - 22x - 23 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения: $a = 1$, $b = -22$, $c = -23$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 484 + 92 = 576$.

Поскольку $D = 576 > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Ответ: 2 корня.

г) Дано уравнение $16x^2 - 8x + 1 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения: $a = 16$, $b = -8$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0$.

Поскольку $D = 0$, уравнение имеет один корень. (Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $(4x-1)^2=0$).

Ответ: 1 корень.

28.4 a) $x^2 + 3x + 24 = 0;$

б) $x^2 - 16x + 64 = 0;$

в) $x^2 - 2x + 5 = 0;$

г) $x^2 + 6x + 9 = 0.$

а) $x^2 + 3x + 24 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения найдем дискриминант $D$. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 3$, $c = 24$.

Подставим значения в формулу:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 9 - 96 = -87$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

б) $x^2 - 16x + 64 = 0$

Левая часть этого уравнения представляет собой полный квадрат разности, соответствующий формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a = x$ и $b = 8$. Проверим: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = x^2 - 16x + 64$.

Следовательно, уравнение можно переписать в виде:

$(x - 8)^2 = 0$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$x - 8 = 0$

$x = 8$

Ответ: $x = 8$.

в) $x^2 - 2x + 5 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения найдем дискриминант $D$. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -2$, $c = 5$.

Подставим значения в формулу:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

г) $x^2 + 6x + 9 = 0$

Левая часть этого уравнения представляет собой полный квадрат суммы, соответствующий формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a = x$ и $b = 3$. Проверим: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.

Следовательно, уравнение можно переписать в виде:

$(x + 3)^2 = 0$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$x + 3 = 0$

$x = -3$

Ответ: $x = -3$.

28.5 Не выполняя построения графика функции, ответьте на вопрос, как расположен этот график относительно оси x:

a) $y = x^2 - 14x + 13$;

б) $y = 2x^2 - x + 3$;

в) $y = 25x^2 - 20x + 4$;

г) $y = -x^2 - 8x - 17$.

Чтобы определить, как расположен график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ относительно оси $x$, не выполняя построения, нужно проанализировать два параметра. Во-первых, знак старшего коэффициента $a$, который определяет направление ветвей параболы: если $a > 0$, ветви направлены вверх, если $a < 0$ — вниз. Во-вторых, знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$, который определяет количество точек пересечения с осью $x$: если $D > 0$, то точек пересечения две; если $D = 0$, то одна точка касания; если $D < 0$, то точек пересечения нет.

а) $y = x^2 - 14x + 13$

Для данной функции коэффициенты: $a = 1$, $b = -14$, $c = 13$.
1. Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 196 - 52 = 144$.
3. Поскольку $D = 144 > 0$, парабола пересекает ось $x$ в двух различных точках.
Ответ: График функции пересекает ось $x$ в двух точках.

б) $y = 2x^2 - x + 3$

Для данной функции коэффициенты: $a = 2$, $b = -1$, $c = 3$.
1. Так как $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23$.
3. Поскольку $D = -23 < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью $x$. Ветви направлены вверх, следовательно, весь график расположен выше оси $x$.
Ответ: График функции расположен полностью выше оси $x$.

в) $y = 25x^2 - 20x + 4$

Для данной функции коэффициенты: $a = 25$, $b = -20$, $c = 4$.
1. Так как $a = 25 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 4 = 400 - 400 = 0$.
3. Поскольку $D = 0$, парабола имеет одну общую точку с осью $x$ (касается ее в своей вершине). Так как ветви направлены вверх, график находится в верхней полуплоскости.
Ответ: График функции касается оси $x$ в одной точке и расположен в верхней полуплоскости.

г) $y = -x^2 - 8x - 17$

Для данной функции коэффициенты: $a = -1$, $b = -8$, $c = -17$.
1. Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-17) = 64 - 68 = -4$.
3. Поскольку $D = -4 < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью $x$. Ветви направлены вниз, следовательно, весь график расположен ниже оси $x$.
Ответ: График функции расположен полностью ниже оси $x$.

Решите уравнение:

28.6 a) $x^2 - 5x + 6 = 0$;

б) $x^2 - 2x - 15 = 0$;

в) $x^2 + 6x + 8 = 0$;

г) $x^2 - 3x - 18 = 0$.

а) $x^2 - 5x + 6 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты: $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.
Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$
Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Также можно применить теорему Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = -b = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = c = 6$. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 3.
Ответ: $2; 3$.

б) $x^2 - 2x - 15 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты: $a = 1$, $b = -2$, $c = -15$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Проверка по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -15$. Корни $5$ и $-3$ удовлетворяют этим условиям.
Ответ: $-3; 5$.

в) $x^2 + 6x + 8 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты: $a = 1$, $b = 6$, $c = 8$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Проверка по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -6$ и $x_1 \cdot x_2 = 8$. Корни $-2$ и $-4$ удовлетворяют этим условиям.
Ответ: $-4; -2$.

г) $x^2 - 3x - 18 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты: $a = 1$, $b = -3$, $c = -18$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Проверка по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 3$ и $x_1 \cdot x_2 = -18$. Корни $6$ и $-3$ удовлетворяют этим условиям.
Ответ: $-3; 6$.

28.7 a) $2x^2 + 3x + 1 = 0;$

б) $3x^2 - 3x + 4 = 0;$

в) $5x^2 - 8x + 3 = 0;$

г) $14x^2 + 5x - 1 = 0.$

а) Решим квадратное уравнение $2x^2 + 3x + 1 = 0$.
Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 2$, $b = 3$, $c = 1$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.
$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
Ответ: $-1; -0.5$.

б) Решим квадратное уравнение $3x^2 - 3x + 4 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = -3$, $c = 4$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 9 - 48 = -39$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.

в) Решим квадратное уравнение $5x^2 - 8x + 3 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a = 5$, $b = -8$, $c = 3$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$.
Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 2}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$.
Ответ: $0.6; 1$.

г) Решим квадратное уравнение $14x^2 + 5x - 1 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a = 14$, $b = 5$, $c = -1$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-1) = 25 + 56 = 81$.
Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 14} = \frac{-5 + 9}{28} = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}$.
$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 14} = \frac{-5 - 9}{28} = \frac{-14}{28} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}; \frac{1}{7}$.