Номер 28.2, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.2, страница 161.

Условие.

28.2 a) $3x^2 + 2x - 1 = 0;$

б) $-x^2 + 4x + 3 = 0;$

в) $4x^2 - 5x - 4 = 0;$

г) $-2x^2 + 5x + 3 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для решения квадратного уравнения $3x^2 + 2x - 1 = 0$ воспользуемся общей формулой для нахождения корней. Уравнение имеет вид $ax^2+bx+c=0$.
В данном случае коэффициенты равны: $a=3$, $b=2$, $c=-1$.
Сначала вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.
Теперь найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.
Ответ: $-1; \frac{1}{3}$.

б) Рассмотрим уравнение $-x^2 + 4x + 3 = 0$.
Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:
$x^2 - 4x - 3 = 0$.
Коэффициенты этого уравнения: $a=1$, $b=-4$, $c=-3$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 + 12 = 28$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.
Найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) \pm 2\sqrt{7}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2}$.
Разделив числитель на 2, получаем: $x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{7}$.
Ответ: $2 - \sqrt{7}; 2 + \sqrt{7}$.

в) Решим уравнение $4x^2 - 5x - 4 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=4$, $b=-5$, $c=-4$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 25 + 64 = 89$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Число 89 является простым, поэтому $\sqrt{89}$ не упрощается.
Найдем корни уравнения по формуле:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{89}}{2 \cdot 4} = \frac{5 \pm \sqrt{89}}{8}$.
Ответ: $\frac{5 - \sqrt{89}}{8}; \frac{5 + \sqrt{89}}{8}$.

г) Рассмотрим уравнение $-2x^2 + 5x + 3 = 0$.
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы старший коэффициент был положительным:
$2x^2 - 5x - 3 = 0$.
Коэффициенты: $a=2$, $b=-5$, $c=-3$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}; 3$.