Номер 27.35, страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 27. Основные понятия. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 27.35, страница 160.

Условие.

Решите уравнение, разложив его левую часть на множители:

27.35 a) $x^2 - 8x + 15 = 0;$

б) $x^2 - 12x + 20 = 0;$

в) $x^2 - 4x + 3 = 0;$

г) $x^2 + 6x + 8 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

a) $x^2 - 8x + 15 = 0$

Для решения уравнения разложим его левую часть на множители. Для этого воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена: $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$. Так как это приведенное квадратное уравнение ($a=1$), для поиска корней удобно использовать теорему Виета.

Согласно теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2$ равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, а произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену.

$x_1 + x_2 = -(-8) = 8$

$x_1 \cdot x_2 = 15$

Подбором находим числа, которые удовлетворяют этим условиям: это 3 и 5. ($3 + 5 = 8$ и $3 \cdot 5 = 15$).

Значит, корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.

Теперь разложим левую часть уравнения на множители: $x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$.

Получаем уравнение: $(x - 3)(x - 5) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

$x - 3 = 0$ или $x - 5 = 0$.

Из первого уравнения получаем $x=3$, из второго $x=5$.

Ответ: 3; 5.

б) $x^2 - 12x + 20 = 0$

Для решения уравнения разложим его левую часть на множители. Сначала найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 12x + 20$.

Воспользуемся теоремой Виета. Для этого приведенного квадратного уравнения ($a=1$) сумма корней $x_1 + x_2$ равна 12, а их произведение $x_1 \cdot x_2$ равно 20.

$x_1 + x_2 = -(-12) = 12$

$x_1 \cdot x_2 = 20$

Подбираем два числа, которые в сумме дают 12, а в произведении 20. Это числа 2 и 10. ($2 + 10 = 12$ и $2 \cdot 10 = 20$).

Значит, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 10$.

Разложим левую часть уравнения на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$x^2 - 12x + 20 = (x - 2)(x - 10)$.

Уравнение принимает вид: $(x - 2)(x - 10) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

$x - 2 = 0$ или $x - 10 = 0$.

Следовательно, $x = 2$ или $x = 10$.

Ответ: 2; 10.

в) $x^2 - 4x + 3 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 3$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2$ равна 4, а их произведение $x_1 \cdot x_2$ равно 3.

$x_1 + x_2 = -(-4) = 4$

$x_1 \cdot x_2 = 3$

Подбираем числа, удовлетворяющие этим условиям. Это числа 1 и 3. ($1 + 3 = 4$ и $1 \cdot 3 = 3$).

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Теперь выполним разложение на множители:

$x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$.

Получаем уравнение: $(x - 1)(x - 3) = 0$.

Это уравнение выполняется, если $x - 1 = 0$ или $x - 3 = 0$.

Отсюда находим решения: $x = 1$ или $x = 3$.

Ответ: 1; 3.

г) $x^2 + 6x + 8 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители, предварительно найдя его корни. Воспользуемся теоремой Виета.

Сумма корней $x_1 + x_2$ равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, то есть -6. Произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену, то есть 8.

$x_1 + x_2 = -6$

$x_1 \cdot x_2 = 8$

Подбираем два числа, которые в сумме дают -6, а в произведении 8. Оба числа должны быть отрицательными. Это числа -2 и -4. ($-2 + (-4) = -6$ и $(-2) \cdot (-4) = 8$).

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = -2$, $x_2 = -4$.

Разложение на множители будет выглядеть так:

$x^2 + 6x + 8 = (x - (-2))(x - (-4)) = (x + 2)(x + 4)$.

Уравнение принимает вид: $(x + 2)(x + 4) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

$x + 2 = 0$ или $x + 4 = 0$.

Отсюда получаем решения: $x = -2$ или $x = -4$.

Ответ: -4; -2.