Номер 27.30, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 27. Основные понятия. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 27.30, страница 159.

Условие.

27.30 Катер, собственная скорость которого равна 15 км/ч, прошёл 36 км по течению и 24 км против течения, затратив на весь путь 4 ч. Чему равна скорость течения?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Обозначим искомую скорость течения реки через $x$ км/ч.

Собственная скорость катера известна и составляет $15$ км/ч. Когда катер движется по течению, его скорость складывается со скоростью течения, а когда против течения — вычитается.
Скорость катера по течению: $v_{\text{по теч.}} = 15 + x$ км/ч.
Скорость катера против течения: $v_{\text{против теч.}} = 15 - x$ км/ч.

Время, затраченное на каждый участок пути, находится по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.
Время движения по течению на расстояние $36$ км: $t_1 = \frac{36}{15 + x}$ ч.
Время движения против течения на расстояние $24$ км: $t_2 = \frac{24}{15 - x}$ ч.

Суммарное время, затраченное на весь путь, равно $4$ часа. Это позволяет нам составить уравнение:
$t_1 + t_2 = 4$
$\frac{36}{15 + x} + \frac{24}{15 - x} = 4$

Для решения уравнения приведём дроби к общему знаменателю $(15 + x)(15 - x)$. Учтём, что скорость течения должна быть положительной и меньше собственной скорости катера, чтобы движение против течения было возможным, то есть $0 < x < 15$.
$36(15 - x) + 24(15 + x) = 4(15 + x)(15 - x)$
Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения:
$540 - 36x + 360 + 24x = 4(225 - x^2)$
Приведём подобные слагаемые:
$900 - 12x = 900 - 4x^2$
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$4x^2 - 12x = 900 - 900$
$4x^2 - 12x = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся общий множитель $4x$ за скобку:
$4x(x - 3) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:
$x_1 = 0$ или $x_2 = 3$.

Корень $x = 0$ означает отсутствие течения, что противоречит условию задачи, где говорится о движении "по течению" и "против течения". Корень $x = 3$ удовлетворяет физическому смыслу задачи и ограничению $0 < x < 15$.
Проверим решение:
Время по течению: $\frac{36}{15+3} = \frac{36}{18} = 2$ часа.
Время против течения: $\frac{24}{15-3} = \frac{24}{12} = 2$ часа.
Общее время: $2 + 2 = 4$ часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: скорость течения равна 3 км/ч.