Номер 27.32, страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 27. Основные понятия. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 27.32, страница 160.

Условие.

27.32 При каких значениях параметра $p$ уравнение $(2p - 3)x^2 + (3p - 6)x + p^2 - 9 = 0$ является:

а) приведённым квадратным уравнением;

б) неполным неприведённым квадратным уравнением;

в) неполным приведённым квадратным уравнением;

г) линейным уравнением?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Данное уравнение $(2p - 3)x^2 + (3p - 6)x + p^2 - 9 = 0$ является уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты зависят от параметра $p$:

$a = 2p - 3$

$b = 3p - 6$

$c = p^2 - 9$

Рассмотрим каждое условие по отдельности.

а) приведённым квадратным уравнением;

Квадратное уравнение называется приведённым, если его старший коэффициент (коэффициент при $x^2$) равен 1. Также уравнение должно быть квадратным, то есть старший коэффициент не должен быть равен 0, что автоматически выполняется при его равенстве 1.

Требуется, чтобы $a = 1$.

$2p - 3 = 1$

$2p = 1 + 3$

$2p = 4$

$p = 2$

При $p = 2$ уравнение принимает вид: $(2 \cdot 2 - 3)x^2 + (3 \cdot 2 - 6)x + (2^2 - 9) = 0$, что упрощается до $x^2 - 5 = 0$. Это является приведённым квадратным уравнением.

Ответ: $p = 2$.

б) неполным неприведённым квадратным уравнением;

Уравнение является неприведённым квадратным, если старший коэффициент $a$ не равен 0 и не равен 1.

$a \neq 0 \implies 2p - 3 \neq 0 \implies p \neq 1,5$

$a \neq 1 \implies 2p - 3 \neq 1 \implies p \neq 2$

Уравнение является неполным, если хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю (при условии, что $a \neq 0$).

Рассмотрим два случая:

1. Коэффициент $b = 0$.

$3p - 6 = 0 \implies 3p = 6 \implies p = 2$. Это значение не подходит, так как по условию $p \neq 2$.

2. Свободный член $c = 0$.

$p^2 - 9 = 0 \implies (p - 3)(p + 3) = 0$. Отсюда $p = 3$ или $p = -3$.

Проверим эти значения:

При $p = 3$: $a = 2 \cdot 3 - 3 = 3$. Это значение удовлетворяет условиям $a \neq 0$ и $a \neq 1$. Коэффициент $b = 3 \cdot 3 - 6 = 3 \neq 0$. Уравнение $3x^2 + 3x = 0$ является неполным неприведённым квадратным уравнением.

При $p = -3$: $a = 2(-3) - 3 = -9$. Это значение удовлетворяет условиям $a \neq 0$ и $a \neq 1$. Коэффициент $b = 3(-3) - 6 = -15 \neq 0$. Уравнение $-9x^2 - 15x = 0$ является неполным неприведённым квадратным уравнением.

Случай, когда $b=0$ и $c=0$ одновременно, невозможен, так как для этого $p$ должно быть равно 2 и $\pm 3$ одновременно, что не имеет решений.

Ответ: $p = 3$, $p = -3$.

в) неполным приведённым квадратным уравнением;

Для того чтобы уравнение было приведённым, старший коэффициент $a$ должен быть равен 1. Как мы нашли в пункте а), это достигается при $p=2$.

$a = 2p - 3 = 1 \implies p = 2$

Теперь проверим, является ли уравнение неполным при этом значении $p$. Для этого нужно, чтобы $b=0$ или $c=0$.

Найдём значения коэффициентов $b$ и $c$ при $p=2$:

$b = 3p - 6 = 3 \cdot 2 - 6 = 0$

$c = p^2 - 9 = 2^2 - 9 = 4 - 9 = -5$

Поскольку коэффициент $b=0$, уравнение является неполным. Таким образом, при $p=2$ уравнение является неполным приведённым квадратным уравнением ($x^2 - 5 = 0$).

Ответ: $p = 2$.

г) линейным уравнением?

Уравнение является линейным, если коэффициент при $x^2$ равен нулю, а коэффициент при $x$ не равен нулю.

1. Коэффициент $a$ должен быть равен 0.

$a = 2p - 3 = 0 \implies 2p = 3 \implies p = 1,5$

2. Коэффициент $b$ не должен быть равен 0.

Проверим значение $b$ при $p = 1,5$:

$b = 3p - 6 = 3 \cdot 1,5 - 6 = 4,5 - 6 = -1,5$

Поскольку $b = -1,5 \neq 0$, при $p = 1,5$ уравнение становится линейным: $-1,5x + (1,5^2 - 9) = 0$, то есть $-1,5x - 6,75 = 0$.

Ответ: $p = 1,5$.