Номер 27.39, страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 27. Основные понятия. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 27.39, страница 160.

Условие.

27.39 a) $\frac{x-2}{x-3} = \frac{x+2}{x+3}$;

б) $\frac{x-2}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} = 3\frac{1}{3}$;

в) $\frac{x-3}{x+3} - \frac{x+3}{x-3} = 0$;

г) $\frac{2x+1}{2x-1} + \frac{2x-1}{2x+1} = 2,5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано уравнение:

$\frac{x-2}{x-3} = \frac{x+2}{x+3}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

$x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$(x-2)(x+3) = (x+2)(x-3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 - 3x + 2x - 6$

$x^2 + x - 6 = x^2 - x - 6$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x^2 + x + x - 6 + 6 = 0$

$2x = 0$

$x = 0$

Корень $x = 0$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \neq 3$ и $0 \neq -3$).

Ответ: $0$.

б)

Дано уравнение:

$\frac{x-2}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} = 3\frac{1}{3}$

ОДЗ: $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$ и $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.

Преобразуем правую часть уравнения: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$:

$\frac{(x-2)(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{(x+2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{10}{3}$

$\frac{(x-2)^2 + (x+2)^2}{x^2 - 4} = \frac{10}{3}$

Раскроем скобки в числителе:

$(x^2 - 4x + 4) + (x^2 + 4x + 4) = 2x^2 + 8$

Уравнение принимает вид:

$\frac{2x^2 + 8}{x^2 - 4} = \frac{10}{3}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$3(2x^2 + 8) = 10(x^2 - 4)$

$6x^2 + 24 = 10x^2 - 40$

$10x^2 - 6x^2 = 24 + 40$

$4x^2 = 64$

$x^2 = 16$

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($4 \neq \pm 2$ и $-4 \neq \pm 2$).

Ответ: $-4; 4$.

в)

Дано уравнение:

$\frac{x-3}{x+3} - \frac{x+3}{x-3} = 0$

ОДЗ: $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$ и $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.

Перенесем вторую дробь в правую часть:

$\frac{x-3}{x+3} = \frac{x+3}{x-3}$

Применим перекрестное умножение:

$(x-3)(x-3) = (x+3)(x+3)$

$(x-3)^2 = (x+3)^2$

Раскроем скобки:

$x^2 - 6x + 9 = x^2 + 6x + 9$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$x^2 - x^2 + 9 - 9 = 6x + 6x$

$0 = 12x$

$x = 0$

Корень $x = 0$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \neq \pm 3$).

Ответ: $0$.

г)

Дано уравнение:

$\frac{2x+1}{2x-1} + \frac{2x-1}{2x+1} = 2,5$

ОДЗ: $2x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2}$ и $2x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{2}$.

Преобразуем правую часть: $2,5 = \frac{5}{2}$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(2x-1)(2x+1) = 4x^2 - 1$:

$\frac{(2x+1)^2 + (2x-1)^2}{4x^2 - 1} = \frac{5}{2}$

Раскроем скобки в числителе:

$(4x^2 + 4x + 1) + (4x^2 - 4x + 1) = 8x^2 + 2$

Уравнение принимает вид:

$\frac{8x^2 + 2}{4x^2 - 1} = \frac{5}{2}$

Применим свойство пропорции:

$2(8x^2 + 2) = 5(4x^2 - 1)$

$16x^2 + 4 = 20x^2 - 5$

$20x^2 - 16x^2 = 4 + 5$

$4x^2 = 9$

$x^2 = \frac{9}{4}$

$x = \pm\sqrt{\frac{9}{4}}$

$x_1 = \frac{3}{2} = 1,5$, $x_2 = -\frac{3}{2} = -1,5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($1,5 \neq \pm 0,5$ и $-1,5 \neq \pm 0,5$).

Ответ: $-1,5; 1,5$.