Номер 27.38, страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 27. Основные понятия. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 27.38, страница 160.

Условие.

Решите уравнение:

27.38 а) $ (3x - 1)(x - 9) = (x + 3)^2 $;

б) $ 2x - (x + 1)^2 = 3x^2 - 5 $;

в) $ (3x - 4)^2 - (5x + 2)(2x + 8) = 0 $;

г) $ 6x^2 - (x + 2)^2 = 4(4 - x) $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $(3x - 1)(x - 9) = (x + 3)^2$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части перемножим многочлены, в правой применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$3x \cdot x + 3x \cdot (-9) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-9) = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2$
$3x^2 - 27x - x + 9 = x^2 + 6x + 9$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$3x^2 - 28x + 9 = x^2 + 6x + 9$
Перенесем все слагаемые из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные:
$3x^2 - 28x + 9 - x^2 - 6x - 9 = 0$
Снова приведем подобные слагаемые:
$(3x^2 - x^2) + (-28x - 6x) + (9 - 9) = 0$
$2x^2 - 34x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:
$2x(x - 17) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$2x = 0$ или $x - 17 = 0$
$x_1 = 0$
$x_2 = 17$
Ответ: 0; 17.

б) $2x - (x + 1)^2 = 3x^2 - 5$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$2x - (x^2 + 2x + 1) = 3x^2 - 5$
Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус:
$2x - x^2 - 2x - 1 = 3x^2 - 5$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-x^2 - 1 = 3x^2 - 5$
Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:
$0 = 3x^2 + x^2 - 5 + 1$
$4x^2 - 4 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:
$4x^2 = 4$
Разделим обе части на 4:
$x^2 = 1$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$
Ответ: -1; 1.

в) $(3x - 4)^2 - (5x + 2)(2x + 8) = 0$
Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, для второго — правило умножения многочленов:
$(9x^2 - 2 \cdot 3x \cdot 4 + 16) - (10x^2 + 40x + 4x + 16) = 0$
$9x^2 - 24x + 16 - (10x^2 + 44x + 16) = 0$
Раскроем вторые скобки, меняя знаки слагаемых на противоположные:
$9x^2 - 24x + 16 - 10x^2 - 44x - 16 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(9x^2 - 10x^2) + (-24x - 44x) + (16 - 16) = 0$
$-x^2 - 68x = 0$
Умножим обе части уравнения на -1:
$x^2 + 68x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 68) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x + 68 = 0$
$x_1 = 0$
$x_2 = -68$
Ответ: -68; 0.

г) $6x^2 - (x + 2)^2 = 4(4 - x)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы, в правой — распределительный закон:
$6x^2 - (x^2 + 4x + 4) = 16 - 4x$
$6x^2 - x^2 - 4x - 4 = 16 - 4x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$5x^2 - 4x - 4 = 16 - 4x$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$5x^2 - 4x - 4 - 16 + 4x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$5x^2 + (-4x + 4x) + (-4 - 16) = 0$
$5x^2 - 20 = 0$
Это неполное квадратное уравнение.
$5x^2 = 20$
Разделим обе части на 5:
$x^2 = 4$
Извлечем квадратный корень:
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$
Ответ: -2; 2.