Страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Какие уравнения называют рациональными уравнениями с одной переменной?

Рациональным уравнением с одной переменной $x$ называют уравнение вида $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ являются рациональными выражениями.

В свою очередь, рациональные выражения — это алгебраические выражения, которые составлены из чисел, переменной $x$, и операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень. Любое такое выражение можно представить в виде дроби $\frac{P(x)}{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены, причем $Q(x)$ не является нулевым многочленом.

Рациональные уравнения принято делить на два вида:

• Целые рациональные уравнения. Это уравнения, в которых обе части, левая и правая, являются целыми выражениями, то есть многочленами. В таких уравнениях переменная не содержится в знаменателе дроби.
  Пример: $3x^4 - 5x^2 + 2x - 11 = 0$.
• Дробно-рациональные уравнения. Это уравнения, в которых хотя бы одна из частей является дробным выражением, то есть содержит переменную в знаменателе дроби.
  Пример: $\frac{x}{x-2} + \frac{5}{x+2} = 1$.

Ключевое отличие при решении дробно-рациональных уравнений состоит в необходимости определения области допустимых значений (ОДЗ). ОДЗ — это множество всех значений переменной, при которых знаменатели всех дробей в уравнении не равны нулю. Корни, не входящие в ОДЗ, являются посторонними и отбрасываются.

Ответ: Рациональными уравнениями с одной переменной называют уравнения вида $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения (то есть выражения, которые можно представить в виде отношения двух многочленов $\frac{P(x)}{Q(x)}$).

2. Опишите алгоритм решения рационального уравнения.

Рациональное уравнение — это уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями. Алгоритм его решения сводится к нескольким последовательным шагам.

Рассмотрим общий вид рационального уравнения, сведенного к нулю:

$\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$

где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены.

Алгоритм решения:

1. Приведение уравнения к стандартному виду. Если уравнение имеет вид, отличный от $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$, необходимо перенести все его члены в одну сторону (обычно в левую) и привести их к общему знаменателю. В результате должно получиться уравнение, в котором дробь равна нулю.

   Пример: Уравнение $\frac{x-1}{x+2} = \frac{3}{x}$

   $\frac{x-1}{x+2} - \frac{3}{x} = 0$

   $\frac{x(x-1) - 3(x+2)}{x(x+2)} = 0$

   $\frac{x^2-x-3x-6}{x(x+2)} = 0$

   $\frac{x^2-4x-6}{x(x+2)} = 0$

2. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Поэтому необходимо найти все значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключить их. Это условие записывается как $Q(x) \neq 0$.

   Для нашего примера:

   $x(x+2) \neq 0$

   Это означает, что $x \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

3. Решение уравнения $P(x)=0$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Поэтому приравниваем числитель к нулю и решаем полученное уравнение (которое, как правило, является целым: линейным, квадратным и т.д.).

   Для нашего примера:

   $x^2-4x-6 = 0$

   Это квадратное уравнение. Решаем его через дискриминант:

   $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 16 + 24 = 40$

   $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}$

   Получаем два корня: $x_1 = 2 + \sqrt{10}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{10}$.

4. Проверка корней на соответствие ОДЗ. Необходимо проверить, не совпадает ли какой-либо из найденных корней с теми значениями, которые были исключены в шаге 2. Корни, не удовлетворяющие ОДЗ, являются посторонними и должны быть отброшены.

   Для нашего примера:

   ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

   Корень $x_1 = 2 + \sqrt{10}$ не равен 0 и не равен -2.

   Корень $x_2 = 2 - \sqrt{10}$ (приблизительно $2 - 3.16 = -1.16$) не равен 0 и не равен -2.

   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

5. Запись ответа. В ответ записываются все корни, которые прошли проверку.

   Для нашего примера: $x = 2 + \sqrt{10}, x = 2 - \sqrt{10}$.

Таким образом, решение рационального уравнения $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$ эквивалентно решению системы:

$\begin{cases} P(x) = 0, \\ Q(x) \neq 0. \end{cases}$

Ответ: Алгоритм решения рационального уравнения заключается в выполнении следующих шагов: 1) привести уравнение к виду $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$; 2) найти область допустимых значений (ОДЗ), решив неравенство $Q(x) \neq 0$; 3) решить уравнение $P(x) = 0$; 4) исключить из найденных корней те, которые не входят в ОДЗ; 5) записать оставшиеся корни в ответ.

3. Расскажите, почему при решении рационального уравнения могут появиться посторонние корни. Как их обнаружить?

Расскажите, почему при решении рационального уравнения могут появиться посторонние корни.

Рациональное уравнение — это уравнение, в котором одна или обе части являются рациональными выражениями (дробями с переменной в знаменателе). Ключевой особенностью таких уравнений является наличие области допустимых значений (ОДЗ). ОДЗ — это множество всех значений переменной, при которых все выражения в уравнении имеют смысл. В случае рациональных дробей это означает, что их знаменатели не должны равняться нулю.

Посторонние корни появляются из-за использования неравносильных преобразований в процессе решения. Основной метод решения рациональных уравнений — избавление от знаменателей путем умножения обеих частей уравнения на их общий знаменатель. Рассмотрим уравнение вида $ \frac{P(x)}{Q(x)} = 0 $.

Это уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} P(x) = 0 \\ Q(x) \neq 0 \end{cases} $

Когда мы решаем такое уравнение, мы часто сначала находим корни уравнения-следствия $ P(x) = 0 $, а уже потом проверяем, удовлетворяют ли они условию $ Q(x) \neq 0 $. Если какой-либо корень уравнения $ P(x) = 0 $ обращает в ноль знаменатель $ Q(x) $, то он не является корнем исходного рационального уравнения. Такой корень и называется посторонним. Он является решением для преобразованного уравнения (уравнения-следствия), но не для исходного.

Пример:
Рассмотрим уравнение $ \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0 $.

1. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $ x - 3 \neq 0 $, то есть $ x \neq 3 $.
2. Чтобы решить уравнение, мы приравниваем числитель к нулю: $ x^2 - 9 = 0 $.
3. Решаем это уравнение-следствие: $ (x-3)(x+3) = 0 $. Получаем два корня: $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -3 $.
4. Теперь проверяем эти корни на соответствие ОДЗ.
   • Корень $ x = -3 $ удовлетворяет условию $ x \neq 3 $. Следовательно, это истинный корень исходного уравнения.
   • Корень $ x = 3 $ не удовлетворяет условию $ x \neq 3 $, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $ x = 3 $ — это посторонний корень.

Таким образом, посторонний корень $ x=3 $ появился в результате того, что мы перешли от дробно-рационального уравнения к целому ($ x^2 - 9 = 0 $), которое имеет более широкую область определения, чем исходное.

Ответ: Посторонние корни при решении рационального уравнения могут появиться из-за того, что в процессе решения (например, при умножении на общий знаменатель) происходит переход к уравнению-следствию, область определения которого шире, чем у исходного уравнения. В результате могут быть найдены значения переменной, которые являются корнями уравнения-следствия, но при которых знаменатели исходного рационального уравнения обращаются в ноль.

Как их обнаружить?

Существует два основных способа обнаружения и отсева посторонних корней.

Способ 1: Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Этот метод заключается в выполнении следующих шагов:

1. В самом начале решения найти ОДЗ уравнения. Для этого нужно приравнять все знаменатели, содержащие переменную, к нулю и найти значения переменной, которые нужно исключить.
2. Решить уравнение (как правило, после преобразования оно становится целым или более простым рациональным).
3. Сравнить полученные корни с ОДЗ. Те корни, которые не входят в ОДЗ, являются посторонними и отбрасываются.

Способ 2: Проверка полученных корней

Этот метод не требует предварительного нахождения ОДЗ:

1. Решить уравнение, получив некоторый набор потенциальных корней.
2. Подставить каждый из найденных корней в исходное рациональное уравнение.
3. Если при подстановке какого-либо корня хотя бы один из знаменателей обращается в ноль, то этот корень является посторонним и исключается из ответа. Если же при подстановке получается верное числовое равенство, корень является истинным.

Пример:
Решим уравнение $ \frac{x}{x+5} + \frac{25}{x^2+5x} = \frac{5}{x} $.

Преобразуем уравнение, заметив, что $ x^2+5x = x(x+5) $:
$ \frac{x}{x+5} + \frac{25}{x(x+5)} - \frac{5}{x} = 0 $

Решение с использованием Способа 1 (ОДЗ):

• Находим ОДЗ. Знаменатели: $ x+5 $ и $ x $.
  $ x+5 \neq 0 \implies x \neq -5 $
  $ x \neq 0 $
  ОДЗ: $ x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 0) \cup (0; +\infty) $.
• Умножаем уравнение на общий знаменатель $ x(x+5) $:
  $ x \cdot x + 25 - 5 \cdot (x+5) = 0 $
  $ x^2 + 25 - 5x - 25 = 0 $
  $ x^2 - 5x = 0 $
  $ x(x-5) = 0 $
• Получаем потенциальные корни: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 5 $.
• Сравниваем с ОДЗ:
  • $ x_1 = 0 $ не входит в ОДЗ ($ x \neq 0 $). Это посторонний корень.
  • $ x_2 = 5 $ входит в ОДЗ. Это истинный корень.

Решение с использованием Способа 2 (Проверка):

• Решив уравнение $ x(x-5) = 0 $, мы получили потенциальные корни $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 5 $.
• Проверяем корень $ x_1 = 0 $:
  Подставляем в исходное уравнение: $ \frac{0}{0+5} + \frac{25}{0^2+5 \cdot 0} = \frac{5}{0} $. В правой части и во втором слагаемом левой части получаем деление на ноль. Следовательно, $ x=0 $ — посторонний корень.
• Проверяем корень $ x_2 = 5 $:
  Подставляем в исходное уравнение: $ \frac{5}{5+5} + \frac{25}{5^2+5 \cdot 5} = \frac{5}{5} $.
  $ \frac{5}{10} + \frac{25}{25+25} = 1 $
  $ \frac{1}{2} + \frac{25}{50} = 1 $
  $ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $
  $ 1 = 1 $. Равенство верное. Следовательно, $ x=5 $ — истинный корень.

Ответ: Обнаружить посторонние корни можно двумя способами: 1) заранее найти область допустимых значений (ОДЗ) и после нахождения корней уравнения-следствия исключить те, которые не входят в ОДЗ; 2) после нахождения всех потенциальных корней выполнить их проверку путем подстановки в исходное уравнение и отбросить те, которые приводят к делению на ноль.

4. Что такое биквадратное уравнение? Опишите метод его решения. Примените описанный метод для решения уравнения

$x^4 - 6x^2 - 7 = 0$

Что такое биквадратное уравнение?

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числовые коэффициенты, причем $a \neq 0$. Это частный случай уравнения четвертой степени, в котором отсутствуют нечетные степени переменной ($x^3$ и $x$).

Описание метода его решения

Основной метод решения биквадратных уравнений — это метод введения новой переменной (замены), который позволяет свести уравнение четвертой степени к квадратному. Алгоритм решения следующий:

1. Введение новой переменной. Производится замена $x^2 = t$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, на новую переменную $t$ накладывается ограничение: $t \ge 0$.
2. Преобразование уравнения. С учетом замены ($x^2=t$ и, следовательно, $x^4 = (x^2)^2 = t^2$), исходное уравнение $ax^4 + bx^2 + c = 0$ принимает вид квадратного уравнения относительно $t$: $at^2 + bt + c = 0$.
3. Решение квадратного уравнения. Полученное квадратное уравнение решается для переменной $t$. Корни $t_1, t_2$ можно найти по формуле: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
4. Отбор корней. Найденные значения $t$ проверяются на соответствие условию $t \ge 0$. Если какой-либо корень $t_k < 0$, он отбрасывается, так как уравнение $x^2 = t_k$ не имеет действительных решений.
5. Обратная замена. Для каждого неотрицательного корня $t_k$ решается уравнение $x^2 = t_k$.
6. Нахождение корней исходного уравнения. Из каждого уравнения $x^2 = t_k$ (где $t_k \ge 0$) находятся два корня: $x = \sqrt{t_k}$ и $x = -\sqrt{t_k}$. Если $t_k = 0$, то корень один: $x=0$. В результате биквадратное уравнение может иметь от нуля до четырех действительных корней.

Применение описанного метода для решения уравнения $x^4 - 6x^2 - 7 = 0$

Рассмотрим уравнение $x^4 - 6x^2 - 7 = 0$.

1. Замена переменной. Введем новую переменную $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.

2. Составление квадратного уравнения. После подстановки уравнение принимает вид:
$t^2 - 6t - 7 = 0$.

3. Решение квадратного уравнения. Найдем корни полученного уравнения относительно $t$. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.
Корни для $t$ равны:
$t_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$t_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

4. Отбор корней. Проверяем найденные значения $t$ на соответствие условию $t \ge 0$.

• $t_1 = 7$ — удовлетворяет условию $7 \ge 0$.
• $t_2 = -1$ — не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, поэтому этот корень является посторонним.

5. Обратная замена. Возвращаемся к исходной переменной $x$, используя единственный подходящий корень $t=7$:
$x^2 = 7$.

6. Нахождение корней. Извлекаем квадратный корень, чтобы найти значения $x$:
$x = \pm\sqrt{7}$.

Ответ: $x_1 = \sqrt{7}$, $x_2 = -\sqrt{7}$.

27.32 При каких значениях параметра $p$ уравнение $(2p - 3)x^2 + (3p - 6)x + p^2 - 9 = 0$ является:

а) приведённым квадратным уравнением;

б) неполным неприведённым квадратным уравнением;

в) неполным приведённым квадратным уравнением;

г) линейным уравнением?

Данное уравнение $(2p - 3)x^2 + (3p - 6)x + p^2 - 9 = 0$ является уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты зависят от параметра $p$:

$a = 2p - 3$

$b = 3p - 6$

$c = p^2 - 9$

Рассмотрим каждое условие по отдельности.

а) приведённым квадратным уравнением;

Квадратное уравнение называется приведённым, если его старший коэффициент (коэффициент при $x^2$) равен 1. Также уравнение должно быть квадратным, то есть старший коэффициент не должен быть равен 0, что автоматически выполняется при его равенстве 1.

Требуется, чтобы $a = 1$.

$2p - 3 = 1$

$2p = 1 + 3$

$2p = 4$

$p = 2$

При $p = 2$ уравнение принимает вид: $(2 \cdot 2 - 3)x^2 + (3 \cdot 2 - 6)x + (2^2 - 9) = 0$, что упрощается до $x^2 - 5 = 0$. Это является приведённым квадратным уравнением.

Ответ: $p = 2$.

б) неполным неприведённым квадратным уравнением;

Уравнение является неприведённым квадратным, если старший коэффициент $a$ не равен 0 и не равен 1.

$a \neq 0 \implies 2p - 3 \neq 0 \implies p \neq 1,5$

$a \neq 1 \implies 2p - 3 \neq 1 \implies p \neq 2$

Уравнение является неполным, если хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю (при условии, что $a \neq 0$).

Рассмотрим два случая:

1. Коэффициент $b = 0$.

$3p - 6 = 0 \implies 3p = 6 \implies p = 2$. Это значение не подходит, так как по условию $p \neq 2$.

2. Свободный член $c = 0$.

$p^2 - 9 = 0 \implies (p - 3)(p + 3) = 0$. Отсюда $p = 3$ или $p = -3$.

Проверим эти значения:

При $p = 3$: $a = 2 \cdot 3 - 3 = 3$. Это значение удовлетворяет условиям $a \neq 0$ и $a \neq 1$. Коэффициент $b = 3 \cdot 3 - 6 = 3 \neq 0$. Уравнение $3x^2 + 3x = 0$ является неполным неприведённым квадратным уравнением.

При $p = -3$: $a = 2(-3) - 3 = -9$. Это значение удовлетворяет условиям $a \neq 0$ и $a \neq 1$. Коэффициент $b = 3(-3) - 6 = -15 \neq 0$. Уравнение $-9x^2 - 15x = 0$ является неполным неприведённым квадратным уравнением.

Случай, когда $b=0$ и $c=0$ одновременно, невозможен, так как для этого $p$ должно быть равно 2 и $\pm 3$ одновременно, что не имеет решений.

Ответ: $p = 3$, $p = -3$.

в) неполным приведённым квадратным уравнением;

Для того чтобы уравнение было приведённым, старший коэффициент $a$ должен быть равен 1. Как мы нашли в пункте а), это достигается при $p=2$.

$a = 2p - 3 = 1 \implies p = 2$

Теперь проверим, является ли уравнение неполным при этом значении $p$. Для этого нужно, чтобы $b=0$ или $c=0$.

Найдём значения коэффициентов $b$ и $c$ при $p=2$:

$b = 3p - 6 = 3 \cdot 2 - 6 = 0$

$c = p^2 - 9 = 2^2 - 9 = 4 - 9 = -5$

Поскольку коэффициент $b=0$, уравнение является неполным. Таким образом, при $p=2$ уравнение является неполным приведённым квадратным уравнением ($x^2 - 5 = 0$).

Ответ: $p = 2$.

г) линейным уравнением?

Уравнение является линейным, если коэффициент при $x^2$ равен нулю, а коэффициент при $x$ не равен нулю.

1. Коэффициент $a$ должен быть равен 0.

$a = 2p - 3 = 0 \implies 2p = 3 \implies p = 1,5$

2. Коэффициент $b$ не должен быть равен 0.

Проверим значение $b$ при $p = 1,5$:

$b = 3p - 6 = 3 \cdot 1,5 - 6 = 4,5 - 6 = -1,5$

Поскольку $b = -1,5 \neq 0$, при $p = 1,5$ уравнение становится линейным: $-1,5x + (1,5^2 - 9) = 0$, то есть $-1,5x - 6,75 = 0$.

Ответ: $p = 1,5$.

27.33 При каких значениях параметра p уравнение:

а) $x^2 + px + 24 = 0$ имеет корень, равный 6;

б) $2x^2 + px + 68 = 0$ имеет корень, равный 17;

в) $x^2 + px - 35 = 0$ имеет корень, равный 7;

г) $3x^2 + px - 54 = 0$ имеет корень, равный 9?

а) По условию, $x = 6$ является корнем уравнения $x^2 + px + 24 = 0$. Это означает, что если подставить значение $x=6$ в уравнение, получится верное числовое равенство. Выполним подстановку:
$6^2 + p \cdot 6 + 24 = 0$
Вычислим значение квадрата и упростим выражение:
$36 + 6p + 24 = 0$
$6p + 60 = 0$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $p$:
$6p = -60$
$p = \frac{-60}{6}$
$p = -10$
Ответ: $p = -10$.

б) По условию, $x = 17$ является корнем уравнения $2x^2 + px + 68 = 0$. Подставим это значение в уравнение:
$2 \cdot 17^2 + p \cdot 17 + 68 = 0$
Вычислим и упростим:
$2 \cdot 289 + 17p + 68 = 0$
$578 + 17p + 68 = 0$
$17p + 646 = 0$
Решим уравнение для $p$:
$17p = -646$
$p = \frac{-646}{17}$
$p = -38$
Ответ: $p = -38$.

в) По условию, $x = 7$ является корнем уравнения $x^2 + px - 35 = 0$. Подставим это значение в уравнение:
$7^2 + p \cdot 7 - 35 = 0$
Вычислим и упростим:
$49 + 7p - 35 = 0$
$7p + 14 = 0$
Решим уравнение для $p$:
$7p = -14$
$p = \frac{-14}{7}$
$p = -2$
Ответ: $p = -2$.

г) По условию, $x = 9$ является корнем уравнения $3x^2 + px - 54 = 0$. Подставим это значение в уравнение:
$3 \cdot 9^2 + p \cdot 9 - 54 = 0$
Вычислим и упростим:
$3 \cdot 81 + 9p - 54 = 0$
$243 + 9p - 54 = 0$
$9p + 189 = 0$
Решим уравнение для $p$:
$9p = -189$
$p = \frac{-189}{9}$
$p = -21$
Ответ: $p = -21$.

27.34 При каких значениях параметра p уравнение:

a) $x^2 - 8x + p = 0$ имеет корень, равный 4;

б) $4x^2 - 24x + p = 0$ имеет корень, равный 0;

в) $x^2 + 15x + p = 0$ имеет корень, равный 10;

г) $6x^2 + 30x + p = 0$ имеет корень, равный -5?

Чтобы найти значение параметра $p$, при котором уравнение имеет заданный корень, необходимо подставить этот корень в уравнение вместо переменной $x$ и решить полученное уравнение относительно $p$.

а) Дано уравнение $x^2 - 8x + p = 0$ и корень $x = 4$.

Подставляем значение $x=4$ в уравнение:
$(4)^2 - 8 \cdot 4 + p = 0$

Выполняем вычисления:
$16 - 32 + p = 0$
$-16 + p = 0$

Отсюда находим $p$:
$p = 16$

Ответ: $p = 16$

б) Дано уравнение $4x^2 - 24x + p = 0$ и корень $x = 0$.

Подставляем значение $x=0$ в уравнение:
$4 \cdot (0)^2 - 24 \cdot 0 + p = 0$

Выполняем вычисления:
$0 - 0 + p = 0$

Отсюда находим $p$:
$p = 0$

Ответ: $p = 0$

в) Дано уравнение $x^2 + 15x + p = 0$ и корень $x = 10$.

Подставляем значение $x=10$ в уравнение:
$(10)^2 + 15 \cdot 10 + p = 0$

Выполняем вычисления:
$100 + 150 + p = 0$
$250 + p = 0$

Отсюда находим $p$:
$p = -250$

Ответ: $p = -250$

г) Дано уравнение $6x^2 + 30x + p = 0$ и корень $x = -5$.

Подставляем значение $x=-5$ в уравнение:
$6 \cdot (-5)^2 + 30 \cdot (-5) + p = 0$

Выполняем вычисления:
$6 \cdot 25 - 150 + p = 0$
$150 - 150 + p = 0$
$0 + p = 0$

Отсюда находим $p$:
$p = 0$

Ответ: $p = 0$

Решите уравнение, разложив его левую часть на множители:

27.35 a) $x^2 - 8x + 15 = 0;$

б) $x^2 - 12x + 20 = 0;$

в) $x^2 - 4x + 3 = 0;$

г) $x^2 + 6x + 8 = 0.$

a) $x^2 - 8x + 15 = 0$

Для решения уравнения разложим его левую часть на множители. Для этого воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена: $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$. Так как это приведенное квадратное уравнение ($a=1$), для поиска корней удобно использовать теорему Виета.

Согласно теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2$ равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, а произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену.

$x_1 + x_2 = -(-8) = 8$

$x_1 \cdot x_2 = 15$

Подбором находим числа, которые удовлетворяют этим условиям: это 3 и 5. ($3 + 5 = 8$ и $3 \cdot 5 = 15$).

Значит, корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.

Теперь разложим левую часть уравнения на множители: $x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$.

Получаем уравнение: $(x - 3)(x - 5) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

$x - 3 = 0$ или $x - 5 = 0$.

Из первого уравнения получаем $x=3$, из второго $x=5$.

Ответ: 3; 5.

б) $x^2 - 12x + 20 = 0$

Для решения уравнения разложим его левую часть на множители. Сначала найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 12x + 20$.

Воспользуемся теоремой Виета. Для этого приведенного квадратного уравнения ($a=1$) сумма корней $x_1 + x_2$ равна 12, а их произведение $x_1 \cdot x_2$ равно 20.

$x_1 + x_2 = -(-12) = 12$

$x_1 \cdot x_2 = 20$

Подбираем два числа, которые в сумме дают 12, а в произведении 20. Это числа 2 и 10. ($2 + 10 = 12$ и $2 \cdot 10 = 20$).

Значит, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 10$.

Разложим левую часть уравнения на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$x^2 - 12x + 20 = (x - 2)(x - 10)$.

Уравнение принимает вид: $(x - 2)(x - 10) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

$x - 2 = 0$ или $x - 10 = 0$.

Следовательно, $x = 2$ или $x = 10$.

Ответ: 2; 10.

в) $x^2 - 4x + 3 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 3$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2$ равна 4, а их произведение $x_1 \cdot x_2$ равно 3.

$x_1 + x_2 = -(-4) = 4$

$x_1 \cdot x_2 = 3$

Подбираем числа, удовлетворяющие этим условиям. Это числа 1 и 3. ($1 + 3 = 4$ и $1 \cdot 3 = 3$).

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Теперь выполним разложение на множители:

$x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$.

Получаем уравнение: $(x - 1)(x - 3) = 0$.

Это уравнение выполняется, если $x - 1 = 0$ или $x - 3 = 0$.

Отсюда находим решения: $x = 1$ или $x = 3$.

Ответ: 1; 3.

г) $x^2 + 6x + 8 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители, предварительно найдя его корни. Воспользуемся теоремой Виета.

Сумма корней $x_1 + x_2$ равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, то есть -6. Произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену, то есть 8.

$x_1 + x_2 = -6$

$x_1 \cdot x_2 = 8$

Подбираем два числа, которые в сумме дают -6, а в произведении 8. Оба числа должны быть отрицательными. Это числа -2 и -4. ($-2 + (-4) = -6$ и $(-2) \cdot (-4) = 8$).

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = -2$, $x_2 = -4$.

Разложение на множители будет выглядеть так:

$x^2 + 6x + 8 = (x - (-2))(x - (-4)) = (x + 2)(x + 4)$.

Уравнение принимает вид: $(x + 2)(x + 4) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

$x + 2 = 0$ или $x + 4 = 0$.

Отсюда получаем решения: $x = -2$ или $x = -4$.

Ответ: -4; -2.

27.36 а) $x^2 + 3x - 10 = 0;$

б) $2x^2 - 5x + 2 = 0;$

в) $x^2 + 9x + 14 = 0;$

г) $4x^2 - 4x - 3 = 0.$

а) Решим квадратное уравнение $x^2 + 3x - 10 = 0$.
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 3$, $c = -10$.
Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Ответ: $2; -5$.

б) Решим квадратное уравнение $2x^2 - 5x + 2 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = -5$, $c = 2$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $2; \frac{1}{2}$.

в) Решим квадратное уравнение $x^2 + 9x + 14 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = 9$, $c = 14$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 5}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.
Ответ: $-2; -7$.

г) Решим квадратное уравнение $4x^2 - 4x - 3 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a = 4$, $b = -4$, $c = -3$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.
$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}; -\frac{1}{2}$.

27.37 При каких значениях $a$ равны значения выражений:

a) $a^2 + 6a$ и $3a^2 - a;$

б) $5a^2 - 12$ и $a^2 - 4;$

в) $3a^2 + 2a$ и $4a^2 - 5a;$

г) $7a^2 - 9$ и $a^2 + 9?$

а) Чтобы найти значения $a$, при которых значения выражений $a^2 + 6a$ и $3a^2 - a$ равны, составим и решим уравнение:

$a^2 + 6a = 3a^2 - a$

Перенесём все члены уравнения в правую часть и приведём подобные слагаемые:

$3a^2 - a^2 - a - 6a = 0$

$2a^2 - 7a = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(2a - 7) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два корня:

$a_1 = 0$

или

$2a - 7 = 0 \Rightarrow 2a = 7 \Rightarrow a_2 = \frac{7}{2} = 3.5$

Ответ: $0; 3.5$

б) Чтобы найти значения $a$, при которых значения выражений $5a^2 - 12$ и $a^2 - 4$ равны, составим и решим уравнение:

$5a^2 - 12 = a^2 - 4$

Перенесём члены с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую:

$5a^2 - a^2 = 12 - 4$

$4a^2 = 8$

Разделим обе части уравнения на 4:

$a^2 = 2$

Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

$a = \pm\sqrt{2}$

Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$

в) Чтобы найти значения $a$, при которых значения выражений $3a^2 + 2a$ и $4a^2 - 5a$ равны, составим и решим уравнение:

$3a^2 + 2a = 4a^2 - 5a$

Перенесём все члены уравнения в правую часть:

$4a^2 - 3a^2 - 5a - 2a = 0$

$a^2 - 7a = 0$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(a - 7) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$a_1 = 0$

или

$a - 7 = 0 \Rightarrow a_2 = 7$

Ответ: $0; 7$

г) Чтобы найти значения $a$, при которых значения выражений $7a^2 - 9$ и $a^2 + 9$ равны, составим и решим уравнение:

$7a^2 - 9 = a^2 + 9$

Перенесём члены с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую:

$7a^2 - a^2 = 9 + 9$

$6a^2 = 18$

Разделим обе части уравнения на 6:

$a^2 = 3$

Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

$a = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}; \sqrt{3}$

Решите уравнение:

27.38 а) $ (3x - 1)(x - 9) = (x + 3)^2 $;

б) $ 2x - (x + 1)^2 = 3x^2 - 5 $;

в) $ (3x - 4)^2 - (5x + 2)(2x + 8) = 0 $;

г) $ 6x^2 - (x + 2)^2 = 4(4 - x) $.

а) $(3x - 1)(x - 9) = (x + 3)^2$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части перемножим многочлены, в правой применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$3x \cdot x + 3x \cdot (-9) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-9) = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2$
$3x^2 - 27x - x + 9 = x^2 + 6x + 9$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$3x^2 - 28x + 9 = x^2 + 6x + 9$
Перенесем все слагаемые из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные:
$3x^2 - 28x + 9 - x^2 - 6x - 9 = 0$
Снова приведем подобные слагаемые:
$(3x^2 - x^2) + (-28x - 6x) + (9 - 9) = 0$
$2x^2 - 34x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:
$2x(x - 17) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$2x = 0$ или $x - 17 = 0$
$x_1 = 0$
$x_2 = 17$
Ответ: 0; 17.

б) $2x - (x + 1)^2 = 3x^2 - 5$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$2x - (x^2 + 2x + 1) = 3x^2 - 5$
Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус:
$2x - x^2 - 2x - 1 = 3x^2 - 5$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-x^2 - 1 = 3x^2 - 5$
Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:
$0 = 3x^2 + x^2 - 5 + 1$
$4x^2 - 4 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:
$4x^2 = 4$
Разделим обе части на 4:
$x^2 = 1$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$
Ответ: -1; 1.

в) $(3x - 4)^2 - (5x + 2)(2x + 8) = 0$
Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, для второго — правило умножения многочленов:
$(9x^2 - 2 \cdot 3x \cdot 4 + 16) - (10x^2 + 40x + 4x + 16) = 0$
$9x^2 - 24x + 16 - (10x^2 + 44x + 16) = 0$
Раскроем вторые скобки, меняя знаки слагаемых на противоположные:
$9x^2 - 24x + 16 - 10x^2 - 44x - 16 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(9x^2 - 10x^2) + (-24x - 44x) + (16 - 16) = 0$
$-x^2 - 68x = 0$
Умножим обе части уравнения на -1:
$x^2 + 68x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 68) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x + 68 = 0$
$x_1 = 0$
$x_2 = -68$
Ответ: -68; 0.

г) $6x^2 - (x + 2)^2 = 4(4 - x)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы, в правой — распределительный закон:
$6x^2 - (x^2 + 4x + 4) = 16 - 4x$
$6x^2 - x^2 - 4x - 4 = 16 - 4x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$5x^2 - 4x - 4 = 16 - 4x$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$5x^2 - 4x - 4 - 16 + 4x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$5x^2 + (-4x + 4x) + (-4 - 16) = 0$
$5x^2 - 20 = 0$
Это неполное квадратное уравнение.
$5x^2 = 20$
Разделим обе части на 5:
$x^2 = 4$
Извлечем квадратный корень:
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$
Ответ: -2; 2.

27.39 a) $\frac{x-2}{x-3} = \frac{x+2}{x+3}$;

б) $\frac{x-2}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} = 3\frac{1}{3}$;

в) $\frac{x-3}{x+3} - \frac{x+3}{x-3} = 0$;

г) $\frac{2x+1}{2x-1} + \frac{2x-1}{2x+1} = 2,5.$

а)

Дано уравнение:

$\frac{x-2}{x-3} = \frac{x+2}{x+3}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

$x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$(x-2)(x+3) = (x+2)(x-3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 - 3x + 2x - 6$

$x^2 + x - 6 = x^2 - x - 6$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x^2 + x + x - 6 + 6 = 0$

$2x = 0$

$x = 0$

Корень $x = 0$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \neq 3$ и $0 \neq -3$).

Ответ: $0$.

б)

Дано уравнение:

$\frac{x-2}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} = 3\frac{1}{3}$

ОДЗ: $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$ и $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.

Преобразуем правую часть уравнения: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$:

$\frac{(x-2)(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{(x+2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{10}{3}$

$\frac{(x-2)^2 + (x+2)^2}{x^2 - 4} = \frac{10}{3}$

Раскроем скобки в числителе:

$(x^2 - 4x + 4) + (x^2 + 4x + 4) = 2x^2 + 8$

Уравнение принимает вид:

$\frac{2x^2 + 8}{x^2 - 4} = \frac{10}{3}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$3(2x^2 + 8) = 10(x^2 - 4)$

$6x^2 + 24 = 10x^2 - 40$

$10x^2 - 6x^2 = 24 + 40$

$4x^2 = 64$

$x^2 = 16$

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($4 \neq \pm 2$ и $-4 \neq \pm 2$).

Ответ: $-4; 4$.

в)

Дано уравнение:

$\frac{x-3}{x+3} - \frac{x+3}{x-3} = 0$

ОДЗ: $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$ и $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.

Перенесем вторую дробь в правую часть:

$\frac{x-3}{x+3} = \frac{x+3}{x-3}$

Применим перекрестное умножение:

$(x-3)(x-3) = (x+3)(x+3)$

$(x-3)^2 = (x+3)^2$

Раскроем скобки:

$x^2 - 6x + 9 = x^2 + 6x + 9$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$x^2 - x^2 + 9 - 9 = 6x + 6x$

$0 = 12x$

$x = 0$

Корень $x = 0$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \neq \pm 3$).

Ответ: $0$.

г)

Дано уравнение:

$\frac{2x+1}{2x-1} + \frac{2x-1}{2x+1} = 2,5$

ОДЗ: $2x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2}$ и $2x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{2}$.

Преобразуем правую часть: $2,5 = \frac{5}{2}$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(2x-1)(2x+1) = 4x^2 - 1$:

$\frac{(2x+1)^2 + (2x-1)^2}{4x^2 - 1} = \frac{5}{2}$

Раскроем скобки в числителе:

$(4x^2 + 4x + 1) + (4x^2 - 4x + 1) = 8x^2 + 2$

Уравнение принимает вид:

$\frac{8x^2 + 2}{4x^2 - 1} = \frac{5}{2}$

Применим свойство пропорции:

$2(8x^2 + 2) = 5(4x^2 - 1)$

$16x^2 + 4 = 20x^2 - 5$

$20x^2 - 16x^2 = 4 + 5$

$4x^2 = 9$

$x^2 = \frac{9}{4}$

$x = \pm\sqrt{\frac{9}{4}}$

$x_1 = \frac{3}{2} = 1,5$, $x_2 = -\frac{3}{2} = -1,5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($1,5 \neq \pm 0,5$ и $-1,5 \neq \pm 0,5$).

Ответ: $-1,5; 1,5$.