Страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Что называют дискриминантом квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$?

1. Дискриминантом квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a$, $b$, $c$ — числовые коэффициенты, причем $a \neq 0$) называют выражение, составленное из этих коэффициентов. Значение дискриминанта позволяет определить, сколько действительных корней имеет уравнение. Само слово «дискриминант» происходит от латинского discriminans, что означает «различающий».

Дискриминант принято обозначать заглавной латинской буквой $D$. Формула для его вычисления выглядит следующим образом:
$D = b^2 - 4ac$

По знаку дискриминанта можно сделать вывод о количестве действительных корней уравнения:

• Если дискриминант положителен ($D > 0$), то уравнение имеет два различных действительных корня. Эти корни вычисляются по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

• Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), то уравнение имеет один действительный корень (иногда говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Этот корень вычисляется по более простой формуле: $x = -\frac{b}{2a}$.

• Если дискриминант отрицателен ($D < 0$), то уравнение не имеет действительных корней (его корни являются комплексными числами, которые обычно не изучаются в школьном курсе математики).

Таким образом, вычисление дискриминанта — это ключевой шаг в решении квадратных уравнений, который позволяет сразу понять характер их решения.

Ответ: Дискриминантом квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ называют выражение $D = b^2 - 4ac$, которое используется для определения количества действительных корней данного уравнения.

2. Что вы можете сказать о числе корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, если его дискриминант $D$ отрицателен?

Общий вид квадратного уравнения — $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ являются числовыми коэффициентами, и $a \neq 0$. Число корней такого уравнения напрямую зависит от знака его дискриминанта.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

Корни квадратного уравнения находятся с помощью следующей формулы, в которой используется дискриминант:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

В условии задачи указано, что дискриминант $D$ отрицателен, то есть $D < 0$.

Проанализируем формулу для нахождения корней. В ней присутствует выражение $\sqrt{D}$. В множестве действительных (вещественных) чисел операция извлечения квадратного корня из отрицательного числа невыполнима. Например, не существует такого действительного числа, которое при возведении в квадрат дало бы отрицательное число.

Следовательно, если подкоренное выражение $D$ отрицательно, то выражение $\sqrt{D}$ не имеет смысла в области действительных чисел. Это означает, что формула для корней не дает действительных решений.

Таким образом, если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то уравнение не имеет корней в множестве действительных чисел.

Ответ: Если дискриминант $D$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ отрицателен, то данное уравнение не имеет действительных (вещественных) корней.

3. Что вы можете сказать о числе корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, если его дискриминант $D$ равен нулю?

Рассмотрим стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ являются числовыми коэффициентами, и $a \neq 0$.

Для нахождения корней этого уравнения используется общая формула:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Выражение под знаком квадратного корня, $D = b^2 - 4ac$, называется дискриминантом. Именно от знака дискриминанта зависит количество действительных корней уравнения.

В условии задачи указано, что дискриминант равен нулю: $D = 0$.

Подставим это значение в формулу для корней:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a}$

Поскольку $\sqrt{0} = 0$, формула упрощается до следующего вида:

$x = \frac{-b \pm 0}{2a}$

Это означает, что оба корня уравнения совпадают, то есть принимают одно и то же значение:

$x_1 = \frac{-b + 0}{2a} = -\frac{b}{2a}$

$x_2 = \frac{-b - 0}{2a} = -\frac{b}{2a}$

Таким образом, если дискриминант $D$ равен нулю, квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень (иногда это состояние описывают как «два совпадающих действительных корня» или «один корень кратности 2»).

Ответ: Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то это уравнение имеет ровно один действительный корень.

4. Что вы можете сказать о числе корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, если его дискриминант $D$ положителен?

Число действительных корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ (при условии, что $a \neq 0$) напрямую зависит от знака его дискриминанта $D$. Дискриминант вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

Корни этого уравнения находятся по общей формуле, которая включает в себя дискриминант:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

В задаче указано, что дискриминант $D$ положителен, то есть $D > 0$. Рассмотрим, как это влияет на формулу корней.

Если $D > 0$, то квадратный корень из дискриминанта, $\sqrt{D}$, является действительным положительным числом. Из-за знака "плюс-минус" ($\pm$) в числителе формулы мы получаем два разных значения для корней:

Первый корень: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

Второй корень: $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$

Поскольку $\sqrt{D}$ — это положительное число, а не ноль, то значения $x_1$ и $x_2$ будут различными. Следовательно, уравнение имеет два различных (разных) действительных корня.

Ответ: Если дискриминант D квадратного уравнения положителен ($D > 0$), то уравнение имеет два различных действительных корня.

5. Как найти корень уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, если $D=0$?

б.

Корни квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ находятся по формуле с использованием дискриминанта $D$. Дискриминант вычисляется как $D = b^2 - 4ac$, а общая формула для корней выглядит следующим образом:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

В условии задачи сказано, что дискриминант равен нулю: $D = 0$. Подставим это значение в общую формулу корней:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a}$

Так как квадратный корень из нуля равен нулю ($\sqrt{0} = 0$), то выражение $\pm \sqrt{D}$ в числителе становится равным нулю. В результате этого оба корня уравнения, $x_1$ и $x_2$, принимают одно и то же значение:

$x_1 = \frac{-b + 0}{2a} = -\frac{b}{2a}$

$x_2 = \frac{-b - 0}{2a} = -\frac{b}{2a}$

Таким образом, если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то уравнение имеет один-единственный действительный корень (также говорят "два совпадающих действительных корня"), который находится по упрощенной формуле.

Ответ: Если $D=0$, корень уравнения находится по формуле $x = -\frac{b}{2a}$.

6. Как найти корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, если $D > 0$?

Для нахождения корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ (при условии, что $a \neq 0$) используется специальная величина, называемая дискриминантом ($D$).

Дискриминант вычисляется по формуле, в которую входят коэффициенты уравнения:
$D = b^2 - 4ac$

Знак дискриминанта определяет количество действительных корней уравнения. Условие, заданное в вопросе, $D > 0$ (дискриминант положителен), означает, что квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

Эти два корня, которые принято обозначать $x_1$ и $x_2$, находятся по следующим формулам:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$

Для удобства эти две формулы часто объединяют в одну, используя знак "плюс-минус" ($\pm$):
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Таким образом, алгоритм решения следующий:
1. Определить коэффициенты $a$, $b$, $c$ в уравнении.
2. Рассчитать дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.
3. Убедиться, что $D > 0$.
4. Найти квадратный корень из дискриминанта $\sqrt{D}$.
5. Подставить значения $a$, $b$ и $\sqrt{D}$ в формулы для корней и вычислить их значения.

Ответ: Если для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант $D = b^2 - 4ac > 0$, то уравнение имеет два различных действительных корня, которые находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

7. Опишите алгоритм решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Примените его для решения уравнения $3x^2 + 10x + 3 = 0$.

Описание алгоритма решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$

Алгоритм решения полного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$, состоит из следующих последовательных шагов:

1. Определение коэффициентов. Необходимо определить числовые значения коэффициентов $a$, $b$ и $c$ в данном уравнении. Коэффициент $a$ стоит при $x^2$, $b$ — при $x$, а $c$ — это свободный член.

2. Вычисление дискриминанта. Дискриминант ($D$) вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$. Значение дискриминанта определяет количество действительных корней уравнения.

3. Анализ дискриминанта. Существует три возможных случая:
– Если $D > 0$, то уравнение имеет два различных действительных корня.
– Если $D = 0$, то уравнение имеет один действительный корень (также говорят о двух совпадающих корнях).
– Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней (корни являются комплексными числами).

4. Нахождение корней. В зависимости от значения дискриминанта корни находятся по следующим формулам:
– Если $D > 0$, то два корня вычисляются как: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
– Если $D = 0$, то единственный корень вычисляется как: $x = \frac{-b}{2a}$.
– Если $D < 0$, то в области действительных чисел решение отсутствует.

Ответ: Алгоритм решения квадратного уравнения заключается в определении его коэффициентов, вычислении дискриминанта $D=b^2-4ac$ и последующем нахождении корней в зависимости от знака $D$: при $D>0$ корни равны $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, при $D=0$ корень равен $x = \frac{-b}{2a}$, а при $D<0$ действительных корней нет.

Применение его для решения уравнения $3x^2 + 10x + 3 = 0$

Решим уравнение $3x^2 + 10x + 3 = 0$, используя описанный выше алгоритм.

1. Определяем коэффициенты.
Для нашего уравнения: $a = 3$, $b = 10$, $c = 3$.

2. Вычисляем дискриминант.
Подставляем значения коэффициентов в формулу дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

3. Анализируем дискриминант.
Так как $D = 64$, а $64 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

4. Находим корни.
Используем формулу для двух корней $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
Сначала найдем значение корня из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.
Теперь вычислим сами корни:
$x_1 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

Ответ: $-3$; $-\frac{1}{3}$.

3 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = -\sqrt{x-1} + 3$ на отрезке $[1; 5]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке необходимо вычислить её значения на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из полученных значений самое большое и самое маленькое.

Дана функция $y = -\sqrt{x-1} + 3$ на отрезке $[1; 5]$.

1. Найдём производную функции и её критические точки.

Производная функции находится по правилу дифференцирования сложной функции:
$y'(x) = \left(-\sqrt{x-1} + 3\right)' = \left(-(x-1)^{\frac{1}{2}} + 3\right)' = -\frac{1}{2}(x-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot (x-1)' = -\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$.

Критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или не существует.
Производная $y'(x)$ никогда не равна нулю, так как её числитель равен -1.
Производная не существует, когда знаменатель равен нулю: $2\sqrt{x-1} = 0$, что происходит при $x=1$.
Эта критическая точка $x=1$ принадлежит заданному отрезку $[1; 5]$, так как является его левой границей.

2. Вычислим значения функции в найденных точках.

Нам необходимо вычислить значения функции на концах отрезка $[1; 5]$. Поскольку критическая точка $x=1$ совпадает с одним из концов отрезка, мы вычисляем значения функции в точках $x=1$ и $x=5$.

При $x=1$:
$y(1) = -\sqrt{1-1} + 3 = -\sqrt{0} + 3 = 0 + 3 = 3$.

При $x=5$:
$y(5) = -\sqrt{5-1} + 3 = -\sqrt{4} + 3 = -2 + 3 = 1$.

3. Определим наименьшее и наибольшее значения.

Мы получили два значения функции: 3 и 1. Теперь сравним их.

Наибольшее значение
Среди полученных значений (3 и 1) наибольшим является 3.
Ответ: $3$.

Наименьшее значение
Среди полученных значений (3 и 1) наименьшим является 1.
Ответ: $1$.

4 Постройте график функции $y = 4x^2 - 5$.

Для построения графика функции $y = 4x^2 - 5$ необходимо выполнить последовательность шагов, которые позволят определить ключевые характеристики и точки графика.

1. Определение типа функции и направления ветвей параболы

Функция $y = 4x^2 - 5$ является квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$. В данном случае коэффициенты равны: $a = 4$, $b = 0$, $c = -5$. Графиком такой функции является парабола. Так как старший коэффициент $a = 4$ положителен ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение координат вершины параболы

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам: $x_0 = - \frac{b}{2a}$
$y_0 = y(x_0)$
Найдем абсциссу вершины: $x_0 = - \frac{0}{2 \cdot 4} = 0$
Теперь найдем ординату вершины, подставив значение $x_0 = 0$ в уравнение функции: $y_0 = 4(0)^2 - 5 = 0 - 5 = -5$
Следовательно, вершина параболы находится в точке с координатами $(0, -5)$. Осью симметрии параболы является прямая $x = 0$, то есть ось ординат (ось OY).

3. Нахождение точек пересечения с осями координат

Точка пересечения с осью OY:
Для нахождения точки пересечения с осью ординат нужно подставить $x = 0$ в уравнение. Эта точка совпадает с вершиной параболы: $y(0) = -5$. Точка пересечения — $(0, -5)$.

Точки пересечения с осью OX:
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс нужно приравнять функцию к нулю ($y=0$) и решить полученное уравнение: $4x^2 - 5 = 0$
$4x^2 = 5$
$x^2 = \frac{5}{4}$
$x = \pm\sqrt{\frac{5}{4}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$
Таким образом, парабола пересекает ось OX в двух точках: $(-\frac{\sqrt{5}}{2}, 0)$ и $(\frac{\sqrt{5}}{2}, 0)$. (Приблизительно $(-1.12, 0)$ и $(1.12, 0)$).

4. Построение таблицы значений для дополнительных точек

Чтобы построить график более точно, найдем значения функции для нескольких значений $x$, симметричных относительно оси симметрии $x=0$.

5. Построение графика

На координатной плоскости отмечаем все найденные точки:

• Вершину параболы: $(0, -5)$
• Точки пересечения с осью OX: $(-\frac{\sqrt{5}}{2}, 0)$ и $(\frac{\sqrt{5}}{2}, 0)$
• Дополнительные точки из таблицы: $(-2, 11)$, $(-1, -1)$, $(1, -1)$, $(2, 11)$

Соединяем отмеченные точки плавной кривой. Полученный график является параболой, симметричной относительно оси OY, с вершиной в точке $(0, -5)$ и ветвями, направленными вверх.

Ответ: Графиком функции $y = 4x^2 - 5$ является парабола с вершиной в точке $(0, -5)$ и ветвями, направленными вверх. График симметричен относительно оси OY и пересекает ось OX в точках $(-\frac{\sqrt{5}}{2}, 0)$ и $(\frac{\sqrt{5}}{2}, 0)$.

5. Постройте график функции $y = x^2 + 6x + 2$.

Для построения графика функции $y = x^2 + 6x + 2$ проведем ее исследование.

Общая характеристика функции
Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Нахождение вершины параболы
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ параболы $y = ax^2 + bx + c$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$.
Для функции $y = x^2 + 6x + 2$ имеем $a = 1$, $b = 6$, $c = 2$.
$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$
Подставим $x_0 = -3$ в уравнение функции, чтобы найти $y_0$:
$y_0 = (-3)^2 + 6(-3) + 2 = 9 - 18 + 2 = -7$
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-3, -7)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = -3$.

Нахождение точек пересечения с осями координат
Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$ (осью ординат), подставим $x = 0$ в уравнение:
$y = 0^2 + 6 \cdot 0 + 2 = 2$.
Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0, 2)$.

Для нахождения точек пересечения с осью $Ox$ (осью абсцисс), решим уравнение $y = 0$:
$x^2 + 6x + 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 36 - 8 = 28$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$x_1 = \frac{-6 - \sqrt{28}}{2} = \frac{-6 - 2\sqrt{7}}{2} = -3 - \sqrt{7} \approx -5.65$.
$x_2 = \frac{-6 + \sqrt{28}}{2} = \frac{-6 + 2\sqrt{7}}{2} = -3 + \sqrt{7} \approx -0.35$.
Точки пересечения с осью $Ox$ — $(-3 - \sqrt{7}, 0)$ и $(-3 + \sqrt{7}, 0)$.

Нахождение дополнительных точек
Для более точного построения графика найдем несколько дополнительных точек. Используем свойство симметрии параболы относительно оси $x = -3$.
Мы уже нашли точку $(0, 2)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=-3$ имеет координаты $(-6, 2)$, так как $y(-6) = (-6)^2 + 6(-6) + 2 = 36-36+2=2$.
Возьмем $x = -1$: $y(-1) = (-1)^2 + 6(-1) + 2 = 1 - 6 + 2 = -3$. Получаем точку $(-1, -3)$.
Симметричная ей точка имеет координаты $(-5, -3)$, так как $y(-5) = (-5)^2 + 6(-5) + 2 = 25 - 30 + 2 = -3$.

Построение графика
На координатной плоскости отмечаем найденные ключевые точки: вершину $(-3, -7)$, точку пересечения с $Oy$ $(0, 2)$, точки пересечения с $Ox$ $(-3 - \sqrt{7}, 0)$ и $(-3 + \sqrt{7}, 0)$, а также дополнительные точки, например, $(-1, -3)$ и симметричную ей $(-5, -3)$, и точку $(-6, 2)$, симметричную точке $(0, 2)$. Соединив эти точки плавной кривой, получаем искомый график параболы.

Ответ: График функции $y = x^2 + 6x + 2$ — это парабола с вершиной в точке $(-3, -7)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 2)$ и ось $Ox$ в точках $(-3 - \sqrt{7}, 0)$ и $(-3 + \sqrt{7}, 0)$.

6 Известно, что $f(x) = 2x^2$, а $g(x) = \frac{4}{x}$. Докажите, что при $x \neq 0$ $f(2x^4) = 2g\left(\frac{1}{x^8}\right)$.

Для того чтобы доказать тождество $f(2x^4) = 2g(\frac{1}{x^8})$, необходимо преобразовать его левую и правую части, используя заданные определения функций $f(x) = 2x^2$ и $g(x) = \frac{4}{x}$. Доказательство проведем по шагам.

1. Преобразуем левую часть равенства.
Левая часть представляет собой значение функции $f(x)$ от аргумента $2x^4$. Подставим $2x^4$ вместо $x$ в формулу $f(x) = 2x^2$:
$f(2x^4) = 2(2x^4)^2$
Теперь упростим полученное выражение, используя свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:
$2(2x^4)^2 = 2 \cdot (2^2 \cdot (x^4)^2) = 2 \cdot (4 \cdot x^{4 \cdot 2}) = 2 \cdot 4x^8 = 8x^8$.
Таким образом, левая часть тождества равна $8x^8$.

2. Преобразуем правую часть равенства.
Правая часть равна $2g(\frac{1}{x^8})$. Сначала найдем значение функции $g(x)$ от аргумента $\frac{1}{x^8}$. Подставим $\frac{1}{x^8}$ вместо $x$ в формулу $g(x) = \frac{4}{x}$:
$g\left(\frac{1}{x^8}\right) = \frac{4}{\frac{1}{x^8}}$
Упростим полученную многоэтажную дробь. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{4}{\frac{1}{x^8}} = 4 \cdot x^8 = 4x^8$.
Теперь умножим результат на 2, как указано в выражении для правой части:
$2g\left(\frac{1}{x^8}\right) = 2 \cdot (4x^8) = 8x^8$.
Таким образом, правая часть тождества также равна $8x^8$.

3. Сравнение результатов.
В результате преобразований мы установили, что левая и правая части исходного равенства равны одному и тому же выражению:
Левая часть: $f(2x^4) = 8x^8$.
Правая часть: $2g\left(\frac{1}{x^8}\right) = 8x^8$.
Поскольку $8x^8 = 8x^8$, исходное равенство является верным при всех $x \neq 0$.

Ответ: Равенство доказано. Преобразование левой части дает $f(2x^4) = 2(2x^4)^2 = 8x^8$. Преобразование правой части дает $2g(\frac{1}{x^8}) = 2 \cdot \frac{4}{1/x^8} = 2 \cdot 4x^8 = 8x^8$. Так как обе части равны $8x^8$, тождество верно.

7 Решите графически систему уравнений $\begin{cases} xy = 2, \\ x^2 + y = -1. \end{cases}$

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики для каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков будут являться решениями системы.

Исходная система:

$$ \begin{cases} xy = 2 \\ x^2 + y = -1 \end{cases} $$

Преобразуем уравнения к виду функций $y(x)$.

$$ \begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = -x^2 - 1 \end{cases} $$

1. Построение графика функции $y = \frac{2}{x}$

Это уравнение представляет собой гиперболу. Ее ветви расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).

Составим таблицу ключевых точек для построения:

2. Построение графика функции $y = -x^2 - 1$

Это уравнение представляет собой параболу. Она получена из графика $y = -x^2$ путем сдвига на 1 единицу вниз по оси $y$. Ветви параболы направлены вниз, а ее вершина находится в точке $(0, -1)$.

Составим таблицу ключевых точек для построения:

3. Нахождение решения

Построим оба графика в одной системе координат. График параболы $y = -x^2 - 1$ полностью лежит ниже оси $x$ (максимальное значение $y=-1$), в то время как одна из ветвей гиперболы $y=2/x$ лежит полностью выше оси $x$ (в первой четверти). Это означает, что пересечение возможно только с ветвью гиперболы, расположенной в третьей четверти.

Из графиков видно, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки — $(-1, -2)$.

Для уверенности выполним проверку, подставив найденные значения в оба исходных уравнения:

1) Проверка для $xy = 2$:

$(-1) \cdot (-2) = 2$

$2 = 2$ (Верно)

2) Проверка для $x^2 + y = -1$:

$(-1)^2 + (-2) = -1$

$1 - 2 = -1$

$-1 = -1$ (Верно)

Так как координаты точки $(-1, -2)$ удовлетворяют обоим уравнениям, они являются решением системы.

Ответ: $(-1, -2)$.

8 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 4x + 2, \text{ если } -2 \le x \le 0; \\ \sqrt{x} + 2, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

a) Найдите $f(-3); f(0); f(9).$

б) Постройте график функции $y = f(x).$

в) Перечислите свойства функции.

а) Для того чтобы найти значения функции, необходимо определить, какому из интервалов определения принадлежит аргумент $x$.

1. Найдем $f(-3)$. Аргумент $x = -3$ не принадлежит ни одному из заданных интервалов: $-3 \notin [-2, 0]$ и $-3 \ngtr 0$. Следовательно, значение функции в этой точке не определено.

2. Найдем $f(0)$. Аргумент $x = 0$ принадлежит интервалу $[-2, 0]$, так как $ -2 \le 0 \le 0 $. Следовательно, используем первую формулу: $f(x) = 2x^2 + 4x + 2$.
$f(0) = 2(0)^2 + 4(0) + 2 = 0 + 0 + 2 = 2$.

3. Найдем $f(9)$. Аргумент $x = 9$ принадлежит интервалу $x > 0$. Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = \sqrt{x} + 2$.
$f(9) = \sqrt{9} + 2 = 3 + 2 = 5$.

Ответ: $f(-3)$ не определено; $f(0) = 2$; $f(9) = 5$.

б) График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей.

1. На промежутке $[-2, 0]$ строим график функции $y = 2x^2 + 4x + 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Выделим полный квадрат: $y = 2(x^2 + 2x + 1) = 2(x+1)^2$. Вершина параболы находится в точке $(-1, 0)$. Найдем значения функции на концах промежутка: $y(-2) = 2(-2)^2 + 4(-2) + 2 = 2$ (точка $(-2, 2)$) и $y(0) = 2(0)^2 + 4(0) + 2 = 2$ (точка $(0, 2)$). Таким образом, на промежутке $[-2, 0]$ график представляет собой дугу параболы с вершиной в точке $(-1, 0)$ и концами в точках $(-2, 2)$ и $(0, 2)$.

2. На промежутке $(0, +\infty)$ строим график функции $y = \sqrt{x} + 2$. Это стандартный график функции $y = \sqrt{x}$, смещенный на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. График начинается от точки $(0, 2)$ (сама точка не включена в этот промежуток, так как неравенство строгое $x > 0$) и идет вправо и вверх. Для построения можно взять контрольные точки, например: $(1, 3)$, $(4, 4)$, $(9, 5)$.

3. Совмещаем оба графика. Точка $(0, 2)$ является конечной точкой для параболы и предельной начальной точкой для графика корня. Так как значение $f(0)=2$ определено первой формулой, на графике это сплошная точка, и функция непрерывна в этой точке.

Ответ: Построение графика описано выше. График является непрерывной линией, состоящей из дуги параболы $y=2(x+1)^2$ на отрезке $[-2, 0]$ и ветви функции $y=\sqrt{x}+2$ на интервале $(0, +\infty)$, которые соединяются в точке $(0, 2)$.

в) Перечислим свойства функции $y = f(x)$ на основании ее определения и графика.

1. Область определения функции: $D(f) = [-2, +\infty)$.

2. Область значений функции: На отрезке $[-2, 0]$ значения изменяются от $0$ (в вершине) до $2$. На интервале $(0, +\infty)$ значения изменяются от $2$ (не включая) до $+\infty$. Объединяя, получаем $E(f) = [0, +\infty)$.

3. Четность, нечетность: Область определения $D(f) = [-2, +\infty)$ несимметрична относительно начала координат, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

4. Нули функции: $f(x) = 0$.
На $[-2, 0]$: $2(x+1)^2 = 0 \implies x = -1$.
На $(0, +\infty)$: $\sqrt{x} + 2 = 0$ не имеет решений.
Единственный нуль функции: $x = -1$.

5. Промежутки знакопостоянства: Функция принимает только неотрицательные значения. $f(x) > 0$ при $x \in [-2, -1) \cup (-1, +\infty)$.

6. Промежутки монотонности:
Функция убывает на промежутке $[-2, -1]$.
Функция возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$.

7. Точки экстремума: $x = -1$ — точка минимума. $y_{min} = f(-1) = 0$. Это глобальный минимум функции. Точек максимума нет.

8. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $[-2, +\infty)$.

Ответ: Свойства функции: 1) область определения $D(f) = [-2, +\infty)$; 2) область значений $E(f) = [0, +\infty)$; 3) общего вида; 4) нуль функции $x=-1$; 5) $f(x)>0$ на $[-2, -1) \cup (-1, +\infty)$; 6) убывает на $[-2, -1]$, возрастает на $[-1, +\infty)$; 7) $y_{min} = f(-1) = 0$; 8) непрерывна на $D(f)$.

9. Исследуйте на монотонность функцию $y = 2 - \frac{5}{x+2}$.

Для исследования функции на монотонность необходимо найти ее производную и определить знаки производной на области определения функции.

1. Найдем область определения функции $y = 2 - \frac{5}{x+2}$.

Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

$x + 2 \neq 0$

$x \neq -2$

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Найдем производную функции.

Для нахождения производной $y'(x)$ воспользуемся правилами дифференцирования. Представим дробь в виде степени:

$y = 2 - 5(x+2)^{-1}$

Теперь найдем производную:

$y' = \left(2 - 5(x+2)^{-1}\right)' = (2)' - (5(x+2)^{-1})' = 0 - 5 \cdot (-1) \cdot (x+2)^{-2} \cdot (x+2)'$

$y' = 5(x+2)^{-2} \cdot 1 = \frac{5}{(x+2)^2}$

3. Определим знак производной и интервалы монотонности.

Проанализируем знак полученной производной $y' = \frac{5}{(x+2)^2}$ на области определения $D(y)$.

Числитель дроби $5$ является положительным числом ($5 > 0$).

Знаменатель дроби $(x+2)^2$ является квадратом выражения, поэтому он всегда положителен для любого $x$ из области определения функции (то есть при $x \neq -2$).

Так как и числитель, и знаменатель дроби положительны, то и вся производная $y'(x)$ положительна на всей области определения функции:

$y'(x) > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Согласно правилу, если производная функции положительна на некотором интервале, то функция на этом интервале монотонно возрастает.

Следовательно, данная функция возрастает на каждом из интервалов, составляющих ее область определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

10 При каких значениях $p$ уравнение $ -x^2 + 4x + 6 = p $:

а) не имеет корней;

б) имеет один корень;

в) имеет два корня?

Для решения задачи необходимо исследовать квадратное уравнение $-x^2 + 4x + 6 = p$ с параметром $p$. Количество корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта.

Сначала приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$-x^2 + 4x + (6 - p) = 0$

Коэффициенты этого уравнения: $a = -1$, $b = 4$, $c = 6 - p$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Подставим наши коэффициенты в формулу:

$D = 4^2 - 4(-1)(6 - p) = 16 + 4(6 - p) = 16 + 24 - 4p = 40 - 4p$.

Теперь проанализируем количество корней для каждого случая.

а) не имеет корней

Уравнение не имеет действительных корней, когда дискриминант строго меньше нуля, то есть $D < 0$.

Решим неравенство относительно $p$:

$40 - 4p < 0$

$40 < 4p$

$10 < p$

Ответ: при $p > 10$.

б) имеет один корень

Уравнение имеет ровно один действительный корень, когда дискриминант равен нулю, то есть $D = 0$.

Решим уравнение относительно $p$:

$40 - 4p = 0$

$4p = 40$

$p = 10$

Ответ: при $p = 10$.

в) имеет два корня

Уравнение имеет два различных действительных корня, когда дискриминант строго больше нуля, то есть $D > 0$.

Решим неравенство относительно $p$:

$40 - 4p > 0$

$40 > 4p$

$10 > p$

Ответ: при $p < 10$.

11 Составляют различные квадратичные функции $y = ax^2 + bx + c$. Коэффициент $a$ произвольно выбирают из чисел 4 или 5, а коэффициенты $b$ и $c$ произвольно выбирают из чисел 1, 2, 3 (совпадения допустимы). Сколько всего таких функций можно составить?

Для того чтобы найти общее количество различных квадратичных функций вида $y = ax^2 + bx + c$, которые можно составить, необходимо воспользоваться правилом произведения в комбинаторике. Согласно этому правилу, общее число комбинаций равно произведению числа вариантов для каждого независимого выбора.

В данной задаче нам нужно выбрать три коэффициента: $a$, $b$ и $c$.

1. Определим количество вариантов для коэффициента $a$.По условию, коэффициент $a$ произвольно выбирают из чисел 4 или 5. Таким образом, для $a$ существует 2 возможных варианта.

2. Определим количество вариантов для коэффициента $b$.Коэффициент $b$ произвольно выбирают из чисел 1, 2, 3. Таким образом, для $b$ существует 3 возможных варианта.

3. Определим количество вариантов для коэффициента $c$.Коэффициент $c$ также произвольно выбирают из чисел 1, 2, 3. В условии указано, что совпадения допустимы, это означает, что выбор $c$ не зависит от выбора $b$. Следовательно, для $c$ также существует 3 возможных варианта.

Теперь, чтобы найти общее количество различных функций, мы перемножаем количество вариантов для каждого коэффициента:

Общее количество функций = (Количество вариантов для $a$) $\times$ (Количество вариантов для $b$) $\times$ (Количество вариантов для $c$)

Выполним вычисление:$2 \times 3 \times 3 = 18$

Следовательно, можно составить 18 различных квадратичных функций.

Ответ: 18

1 Постройте в одной системе координат графики функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$; сделайте вывод о взаимном расположении построенных графиков.

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: построить графики заданных функций и на основе построенных графиков сделать вывод об их взаимном расположении.

1. Построение графиков функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$

Обе функции, $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$, являются обратными пропорциональностями. Их графиками являются гиперболы. Область определения обеих функций — это все действительные числа, кроме $x=0$. Область значений — все действительные числа, кроме $y=0$. Асимптотами для обоих графиков служат оси координат (ось Ox и ось Oy).

Построение графика функции $y = \frac{2}{x}$

Так как коэффициент $k=2$ положителен ($k > 0$), ветви этой гиперболы будут расположены в I и III координатных четвертях. Составим таблицу значений для построения:

Построение графика функции $y = -\frac{2}{x}$

Так как коэффициент $k=-2$ отрицателен ($k < 0$), ветви этой гиперболы будут расположены во II и IV координатных четвертях. Составим таблицу значений для построения:

Нанеся точки из обеих таблиц на координатную плоскость и соединив их плавными линиями, мы получим два графика в одной системе координат.

2. Вывод о взаимном расположении построенных графиков

Сравним функции $y_1(x) = \frac{2}{x}$ и $y_2(x) = -\frac{2}{x}$.

Заметим, что для любого значения $x$ (кроме $x=0$) выполняется равенство $y_2(x) = -y_1(x)$.

• Симметрия относительно оси абсцисс (оси Ox). Если точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $y = \frac{2}{x}$, то точка с координатами $(x_0, -y_0)$ будет принадлежать графику функции $y = -\frac{2}{x}$. Это означает, что графики данных функций симметричны друг другу относительно оси Ox.
• Симметрия относительно оси ординат (оси Oy). Если точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $y = \frac{2}{x}$ (то есть $y_0 = \frac{2}{x_0}$), то проверим, принадлежит ли симметричная ей относительно оси Oy точка $(-x_0, y_0)$ второму графику. Подставим ее координаты в уравнение $y = -\frac{2}{x}$: $y_0 = -\frac{2}{-x_0}$, что равносильно $y_0 = \frac{2}{x_0}$. Это верное равенство. Следовательно, графики также симметричны друг другу относительно оси Oy.

Таким образом, построенные графики симметричны друг другу относительно обеих координатных осей.

Ответ: Графики функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$ — это две гиперболы. График $y = \frac{2}{x}$ расположен в I и III координатных четвертях. График $y = -\frac{2}{x}$ расположен во II и IV координатных четвертях. Графики симметричны друг другу относительно оси абсцисс (Ox) и оси ординат (Oy).

2. Приведите примеры функций: ограниченных сверху; ограниченных снизу.

ограниченных сверху

Функция $y=f(x)$ называется ограниченной сверху на множестве $X$ (которое является подмножеством области определения функции), если существует такое число $M$, что для любого значения $x$ из множества $X$ выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Геометрически это означает, что весь график функции на множестве $X$ расположен не выше горизонтальной прямой $y=M$. Число $M$ называют верхней границей функции.

Пример 1: Парабола с ветвями вниз.
Рассмотрим функцию $y = -x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $-x^2 \le 0$. Таким образом, для любого $x$ значение функции не превышает 0. Следовательно, функция ограничена сверху, например, числом $M=0$. Ее график — парабола с вершиной в точке $(0,0)$, ветви которой направлены вниз.

Пример 2: Тригонометрическая функция.
Функция $y = \sin(x)$. Известно, что область значений синуса — отрезок $[-1, 1]$. Это значит, что для любого $x$ выполняется неравенство $\sin(x) \le 1$. Таким образом, функция $y = \sin(x)$ ограничена сверху числом $M=1$.

Пример 3: Функция с модулем.
Рассмотрим функцию $y = 10 - |x|$. Так как по определению модуля $|x| \ge 0$, то $-|x| \le 0$. Тогда $10 - |x| \le 10$. Функция ограничена сверху числом $M=10$.

Ответ: Примерами функций, ограниченных сверху, являются $y = -x^2$; $y = \cos(x)$; $y = 5 - |x|$.

ограниченных снизу

Функция $y=f(x)$ называется ограниченной снизу на множестве $X$, если существует такое число $m$, что для любого значения $x$ из множества $X$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

Геометрически это означает, что весь график функции на множестве $X$ расположен не ниже горизонтальной прямой $y=m$. Число $m$ называют нижней границей функции.

Пример 1: Парабола с ветвями вверх.
Рассмотрим функцию $y = x^2$. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, функция ограничена снизу числом $m=0$. Ее график — парабола с вершиной в точке $(0,0)$, ветви которой направлены вверх.

Пример 2: Показательная функция.
Функция $y = 2^x$. Для любого действительного показателя степени $x$ значение функции $2^x$ всегда будет строго больше нуля. Таким образом, $2^x > 0$, и функция ограничена снизу, например, числом $m=0$.

Пример 3: Функция модуля.
Функция $y = |x|$. По определению, модуль числа всегда неотрицателен: $|x| \ge 0$ для любого $x$. Значит, функция ограничена снизу числом $m=0$.

Ответ: Примерами функций, ограниченных снизу, являются $y = x^2$; $y = 3^x$; $y = |x|+5$.