Номер 8, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №3. Вариант 1. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 8, страница 154.

Условие.

8 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 4x + 2, \text{ если } -2 \le x \le 0; \\ \sqrt{x} + 2, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

a) Найдите $f(-3); f(0); f(9).$

б) Постройте график функции $y = f(x).$

в) Перечислите свойства функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для того чтобы найти значения функции, необходимо определить, какому из интервалов определения принадлежит аргумент $x$.

1. Найдем $f(-3)$. Аргумент $x = -3$ не принадлежит ни одному из заданных интервалов: $-3 \notin [-2, 0]$ и $-3 \ngtr 0$. Следовательно, значение функции в этой точке не определено.

2. Найдем $f(0)$. Аргумент $x = 0$ принадлежит интервалу $[-2, 0]$, так как $ -2 \le 0 \le 0 $. Следовательно, используем первую формулу: $f(x) = 2x^2 + 4x + 2$.
$f(0) = 2(0)^2 + 4(0) + 2 = 0 + 0 + 2 = 2$.

3. Найдем $f(9)$. Аргумент $x = 9$ принадлежит интервалу $x > 0$. Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = \sqrt{x} + 2$.
$f(9) = \sqrt{9} + 2 = 3 + 2 = 5$.

Ответ: $f(-3)$ не определено; $f(0) = 2$; $f(9) = 5$.

б) График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей.

1. На промежутке $[-2, 0]$ строим график функции $y = 2x^2 + 4x + 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Выделим полный квадрат: $y = 2(x^2 + 2x + 1) = 2(x+1)^2$. Вершина параболы находится в точке $(-1, 0)$. Найдем значения функции на концах промежутка: $y(-2) = 2(-2)^2 + 4(-2) + 2 = 2$ (точка $(-2, 2)$) и $y(0) = 2(0)^2 + 4(0) + 2 = 2$ (точка $(0, 2)$). Таким образом, на промежутке $[-2, 0]$ график представляет собой дугу параболы с вершиной в точке $(-1, 0)$ и концами в точках $(-2, 2)$ и $(0, 2)$.

2. На промежутке $(0, +\infty)$ строим график функции $y = \sqrt{x} + 2$. Это стандартный график функции $y = \sqrt{x}$, смещенный на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. График начинается от точки $(0, 2)$ (сама точка не включена в этот промежуток, так как неравенство строгое $x > 0$) и идет вправо и вверх. Для построения можно взять контрольные точки, например: $(1, 3)$, $(4, 4)$, $(9, 5)$.

3. Совмещаем оба графика. Точка $(0, 2)$ является конечной точкой для параболы и предельной начальной точкой для графика корня. Так как значение $f(0)=2$ определено первой формулой, на графике это сплошная точка, и функция непрерывна в этой точке.

Ответ: Построение графика описано выше. График является непрерывной линией, состоящей из дуги параболы $y=2(x+1)^2$ на отрезке $[-2, 0]$ и ветви функции $y=\sqrt{x}+2$ на интервале $(0, +\infty)$, которые соединяются в точке $(0, 2)$.

в) Перечислим свойства функции $y = f(x)$ на основании ее определения и графика.

1. Область определения функции: $D(f) = [-2, +\infty)$.

2. Область значений функции: На отрезке $[-2, 0]$ значения изменяются от $0$ (в вершине) до $2$. На интервале $(0, +\infty)$ значения изменяются от $2$ (не включая) до $+\infty$. Объединяя, получаем $E(f) = [0, +\infty)$.

3. Четность, нечетность: Область определения $D(f) = [-2, +\infty)$ несимметрична относительно начала координат, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

4. Нули функции: $f(x) = 0$.
На $[-2, 0]$: $2(x+1)^2 = 0 \implies x = -1$.
На $(0, +\infty)$: $\sqrt{x} + 2 = 0$ не имеет решений.
Единственный нуль функции: $x = -1$.

5. Промежутки знакопостоянства: Функция принимает только неотрицательные значения. $f(x) > 0$ при $x \in [-2, -1) \cup (-1, +\infty)$.

6. Промежутки монотонности:
Функция убывает на промежутке $[-2, -1]$.
Функция возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$.

7. Точки экстремума: $x = -1$ — точка минимума. $y_{min} = f(-1) = 0$. Это глобальный минимум функции. Точек максимума нет.

8. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $[-2, +\infty)$.

Ответ: Свойства функции: 1) область определения $D(f) = [-2, +\infty)$; 2) область значений $E(f) = [0, +\infty)$; 3) общего вида; 4) нуль функции $x=-1$; 5) $f(x)>0$ на $[-2, -1) \cup (-1, +\infty)$; 6) убывает на $[-2, -1]$, возрастает на $[-1, +\infty)$; 7) $y_{min} = f(-1) = 0$; 8) непрерывна на $D(f)$.