Номер 7, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №3. Вариант 1. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 7, страница 154.

Условие.

7 Решите графически систему уравнений $\begin{cases} xy = 2, \\ x^2 + y = -1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики для каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков будут являться решениями системы.

Исходная система:

$$ \begin{cases} xy = 2 \\ x^2 + y = -1 \end{cases} $$

Преобразуем уравнения к виду функций $y(x)$.

$$ \begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = -x^2 - 1 \end{cases} $$

1. Построение графика функции $y = \frac{2}{x}$

Это уравнение представляет собой гиперболу. Ее ветви расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).

Составим таблицу ключевых точек для построения:

$x$	-4	-2	-1	-0.5	0.5	1	2	4
$y$	-0.5	-1	-2	-4	4	2	1	0.5

2. Построение графика функции $y = -x^2 - 1$

Это уравнение представляет собой параболу. Она получена из графика $y = -x^2$ путем сдвига на 1 единицу вниз по оси $y$. Ветви параболы направлены вниз, а ее вершина находится в точке $(0, -1)$.

Составим таблицу ключевых точек для построения:

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	-5	-2	-1	-2	-5

3. Нахождение решения

Построим оба графика в одной системе координат. График параболы $y = -x^2 - 1$ полностью лежит ниже оси $x$ (максимальное значение $y=-1$), в то время как одна из ветвей гиперболы $y=2/x$ лежит полностью выше оси $x$ (в первой четверти). Это означает, что пересечение возможно только с ветвью гиперболы, расположенной в третьей четверти.

Из графиков видно, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки — $(-1, -2)$.

Для уверенности выполним проверку, подставив найденные значения в оба исходных уравнения:

1) Проверка для $xy = 2$:

$(-1) \cdot (-2) = 2$

$2 = 2$ (Верно)

2) Проверка для $x^2 + y = -1$:

$(-1)^2 + (-2) = -1$

$1 - 2 = -1$

$-1 = -1$ (Верно)

Так как координаты точки $(-1, -2)$ удовлетворяют обоим уравнениям, они являются решением системы.

Ответ: $(-1, -2)$.